Variabile casuale di Dirichlet

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La variabile casuale di Dirichlet è una variabile casuale continua che può essere considerata la generalizzazione della variabile casuale Beta nel caso multivariato, e viene richiamata spesso nella seguente forma

$Dir_k(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k)$ per

α i > 0

per i=1,2,...,k

Ha come funzione di densità di probabilità

$f(x_1, x_2, \ldots, x_k | \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k) = \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha_1) \Gamma(\alpha_2) \ldots \Gamma(\alpha_k)} x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2-1} \ldots x_k^{\alpha_k-1}$

dove $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k$

Ha come valore atteso

$E(X_i)=\frac{\alpha_i}{\alpha}$

come moda

$x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\alpha - k}, \quad \alpha_i > 1.$

come varianza

$Var(X_i)=\frac{(\alpha-\alpha_i)\alpha_i}{\alpha^2(\alpha+1)}$

e tra qualsiasi coppia di differenti $X i, X j$ ( $i \ne j$ ) si ha la covarianza

$Cov(X_i,X_j)=-\frac{\alpha_i\alpha_j}{\alpha^2(\alpha+1)}$

[modifica] Teoremi

[modifica] La v.c. Beta come caso particolare

Se k=2, $X 2 = 1 - X 1$ , allora $X 1$ è distribuita come una variabile casuale Beta $B e t a (α 1,α 2)$

[modifica] La v.c. di Dirichlet come prior coniugate della v.c.Multinomiale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la v.c. di Dirichlet è una prior coniugate della variabile casuale multinomiale in quanto

Se si applica alla

$f(x_1,x_2, \ldots,x_k|\theta_1, \theta_2, \ldots,\theta_k)=Multinomiale_k(\theta_1, \theta_2, \ldots,\theta_k)$

una distribuzione a priori delle θ corrispondente ad una v.c. di Dirichlet

$g(\theta_1, \theta_2, \ldots,\theta_k)=Dir_k( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k)$

allora la distribuzione a posteriori delle θ è anch'essa una v.c. di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati

$g(\theta_1, \theta_2, \ldots,\theta_k|(x_1,x_2,\ldots,x_k)=Dir_k( \alpha_1+x_1, \alpha_2+x_2, \ldots, \alpha_k+x_k)$

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.

[modifica] Dalla Gamma (Erlang B) alla Dirichlet

Se si hanno k indipendenti v.c. casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di v.c. dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

$Y_i\sim\operatorname{Gamma}(1,\alpha_i)$