Variabile casuale Erlang B

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Erlang B è la probabilità di blocco in un sistema a pura perdita. In altri termini, esprime la probabilità che un cliente in arrivo in un sistema con m serventi e senza possibilità di accodamento venga rifiutato in quanto tutti i serventi sono occupati. Tale probabilità è funzione del numero di serventi 'm' e del traffico offerto A Erlang ed è data da

$E_B(m,A)={A^{m}\over m!}\left({\sum_{i=0}^{m}{A^i \over i!}}\right)^{-1}.$

La formula in formato compatto è di difficile computazione. Più algoritmicamente aggredibile è il formato ricorsivo:

$Eb(0, A) = 1 \,$

$Eb(m,A) = { {A Eb(m-1,A)} \over {m+A Eb(m-1,A)} } \,$

dove:

Eb è la probabiblità di blocco
m è il numero di risorse
A è il traffico offerto in Erlang

L'ipotesi sottostante alla distribuzione Erlang B è che il processo sia a perdita: una richiesta ricevuta e non soddisfatta viene persa.

Tale formula è utilizzata per dimensionare il numero di linee in uscita da un centralino telefonico al fine di garantire una probabilità di blocco inferiore a una soglia desiderata per un certo valore di traffico offerto.

Il nome Erlang B è in onore dell'ingegnere danese Agner Krarup Erlang che ha studiato per primo queste problematiche agli inizi del XX secolo.

[modifica] Dalla Erlang B alla Gamma alla Dirichlet

Se si hanno k indipendenti v.c. casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di v.c. dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

$Y_i\sim\operatorname{Gamma}(1,\alpha_i)$