Variabile casuale binomiale negativa

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La variabile casuale binomiale negativa è una variabile casuale discreta, usata spesso per descrivere eventi rari in cui la probabilità dell'evento non è uguale per tutti gli elementi (contrariamente alla v.c. poissoniana), p.es. nel caso del numero di incidenti stradali mortali in determinato intervallo di tempo. È anche il risultato finale di un processo markoviano continuo nel tempo (processo di Yule).

Il suo nome deriva dall'affinità che ha con la variabile casuale binomiale; infatti essa può essere descritta dallo stesso esperimento della binomiale negativa, ma cambiando il punto di vista: se nella binomiale il numero di prove era fissato e variabile era il numero di "successi", nella binomiale negativa si suppone dato il numero di successi e l'incognita rappresenta il numero di prove necessarie per ottenere tale numero di successi.

Indice

1 Definizione e caratteristiche
2 Teoremi
- 2.1 Teoremi che coinvolgono altre v.c.
- 2.2 Processo di Yule
3 Voci correlate

[modifica] Definizione e caratteristiche

La funzione di probabilità è data da

$P_r(k)={r+k-1 \choose k}\ p^r\ (1-p)^k$

ove k e r sono interi non negativi e p una probabilità (0<p<1)

La funzione generatrice dei momenti è:

$g(t)=({\frac{p}{1-q\ e^t}})^r$ , ove q=1-p

Si hanno:

valore atteso: μ = rq/p
varianza: σ² = rq/p² = μ/p
simmetria: β₁ = (1+q)² / (rq)
curtosi: β₂ = 3 + (1+4q+q²) / (rq)

A confronto con le due v.c. più simili (anche come utilizzo) si può osservare che:

La v.c. Binomiale Negativa ha la media minore della varianza
La v.c. poissoniana ha la media uguale alla varianza
La v.c. binomiale ha la media superiore alla varianza

[modifica] Teoremi

[modifica] Teoremi che coinvolgono altre v.c.

[modifica] Somma di v.c. geometriche

Se X₁, X₂, ... , X_r sono variabili casuali uguali e indipendenti distribuite come una variabile casuale geometrica, allora la loro somma

X = X 1 + X 2 + ... + X r

è una v.c.Binomiale Negativa.

[modifica] v.c. di Poisson e v.c. Gamma

Se X è una variabile casuale di Poisson generalizzata con il parametro λ distribuito come una variabile casuale Gamma, allora si tratta di una v.c. Binomiale Negativa.

$f(k)\!\!\!\!$	$= \int_0^{\infty} \mathrm{Poisson}(k \,\|\, \lambda) \times \mathrm{Gamma}(\lambda \,\|\, r, (1-p)/p) \; \mathrm{d}\lambda$
	$= \int_0^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \exp(-\lambda) \times \frac{\lambda^{r-1} \exp(-\lambda (1-p)/p)}{\Gamma(r)\;((1-p)/p)^r} \; \mathrm{d}\lambda$
	$= \frac{1}{k!\;\Gamma(r)} \; p^r \; \frac{1}{(1-p)^r} \; \int_0^{\infty} \lambda^{(r+k)-1} \, \exp(-\lambda/(1-p)) \;\mathrm{d}\lambda$
	$= \frac{1}{k!\;\Gamma(r)} \; p^r \; \frac{1}{(1-p)^r} \; (1-p)^{r+k} \; \Gamma(r+k)$
	$= \frac{\Gamma(r+k)}{k!\;\Gamma(r)} \; p^r \, (1-p)^k$

[modifica] La v.c. Beta come priori coniugati della v.c. Binomiale Negativa

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la v.c. binomiale negativa e la variabile casuale Beta.

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

f (x | θ) = B i n N e g (x | m;θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

g (θ) = B e t a (θ | a; b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

g (θ | x) = B e t a (θ | a + m; b + x)

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t (e dunque come valore più probabile)

t=m/(m+x)

[modifica] La v.c. binomiale negativa come caso particolare della v.c. di Panjer

Applicando alla variabile casuale di Panjer i parametri $a=1-p,~b=(r-1) \cdot (1-p),~p_0=p^r$ si ottiene la v.c binomiale negativa.

[modifica] La v.c. binomiale negativa come una composta di Poisson

Se $X_1, X_2, X_3, \dots$ sono distribuite come la variabile casuale logaritmica allora la distribuzione composta di Poisson è una variabile casuale binomiale negativa.