Karakteristik fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu sayfa, başka dilde bir Vikipedi'den çevrilmektedir.
Siz de yardım etmek istiyorsanız ya da çeviri yarıda kalmışsa, çalışmaya katılan kişilerle iletişime geçip, sayfanın durumunu onlara sorabilirsiniz.
Sayfanın geçmişine baktığınızda, sayfa üzerinde çalışma yapanları görebilirsiniz.

Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karekteristik fonksiyon bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, reel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır:

$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right)\,$

Burada t bir reel sayı, i sanal birim değer ve E beklenen değer olurlar.

Eğer F_X yığmalı dağılım fonksiyonu ise, kareteristik fonksiyon Riemann-Stieltjes integrali kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

$\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,dF_X(x).\,$

Rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f_X, var ise karekteristik fonksiyonu şöyle ifade edilir:

$\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\,dx.$

Eğer X bir vektör-değerli rassal değişken ise, t değeri bir vektör olarak ve tX bir nokta çarpan olarak kabul edilip tanım değiştirilmez.

R üzerinde veya Rⁿ üzerindeki her olasılık dağılımının bir karekteristik fonksiyonu bulunur, çünkü sınırlı bir fonksiyonunun ölçümü sonsuz olan bir uzayda integrali alınmaktadır. Her bir karekteristik fonksiyonu için tek bir olasılık dağılımı vardır. (İçinde $p (x) = p ( - x)$ olan) bir simetrik olasılık yoğunluk fonksiyonu için karekteristik fonksiyon reeldir; çünkü $x > 0$ ifadesinden elde edilen ile $x < 0$ ifadesinden elde edilen sanal parçalar birbirini elimine etmektedir.

Konu başlıkları

1 Lévy süreklilik teoremi
2 Ters alma teoremi
3 Bochner-Khinchin teoremi
4 Karekteristik fonksiyonlarin yararları
5 Çoklu-değişirli karekteristik fonksiyonlar
- 5.1 Örneğin
6 Matris değerli rassal değişkenler
7 İlişkili kavramlar
8 Referanslar

[değiştir] Lévy süreklilik teoremi

Ana madde: Lévy süreklilik teoremi

[değiştir] Ters alma teoremi

Bu ozellikten daha lapsamli bir ozellik daha vardir. Iki gayet iyi belirlanmis yigmali olasilik dagilimi hic bir karekteristik fonksiyonuna ortak sahip degildirler. Bir karekteristik fonksiyon, φ φ, verilmis ise, karsitli bagli olup cikartildigi yigmali dagilim fonksiyonu F yeniden soyle meydana getirilir:

$F_X(y) - F_X(x) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi} \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{e^{-itx} - e^{-ity}} {it}\, \varphi_X(t)\, dt.$

Genel olarak bu bir uygunsuz entegraldir; cunku Lebesgue entegrali olacagina kosullu olarak entegrali cikartilmis olan bir fonksiyonu olabilir. Yani mutlak degerinin entegrali sonsuz olabilir.

[değiştir] Bochner-Khinchin teoremi

Ana madde: Bochner'in teoremi

Herhangi bir fonksiyon $\scriptstyle \varphi$ belli bir olasilik yasasi olan $\scriptstyle \mu$ karsiligi olan bir karekteristik fonksiyon olmasi icin yalnizca ve yalnizca su uc kosulun saglanmasi gerekir:

$\scriptstyle \varphi \,$ surekli olmalidir.
$\scriptstyle \varphi(0) = 1 \,$ olmalidir.
$\scriptstyle \varphi \,$ bir kesin pozitif fonksiyon olmalidir. (Dikkat edilirse bu kosul biraz karmasik olup $\scriptstyle \varphi >0$ ile es anlamda degildir.)

[değiştir] Karekteristik fonksiyonlarin yararları

Levy'nin sureklilik teoremi dolayisiyla karakteristik fonksiyonlar merkezsel limit teoremini isbat etmek icin cok defa kullanilmaktadir. Bir karekteristik fonksiyonunun kullanilmasiyla yapilan hesaplarda atilacak en becerikli adim eldeki fonkisiyonun belli bir dagilimin karekteristik fonksiyonu oldugunun farkina varmak suretiyle ortaya cikar.

[değiştir] Temel özellikler

Bagimsiz olan rassal degiskenlerin fonksiyonlari ile ugrasmak icin ozellikle karekteristik fonksiyonlar kullanilir. Ornegin, X₁, X₂, ..., X_n bir seri bagimsiz (ama mutlaka ayni sekilde dagilim gostermeyen) rassal degisken iseler ve a_iler sabit olup

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!$

ise S_n icin karakteristik fonksiyon soyle verilir:

$\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt). \,\!$

Ozellikle

$\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\varphi_Y(t)$

olur. Bunu gormek icin bir karekteristik fonksiyonun tanimi yazilisin:

$\varphi_{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)$ .

Burada gozlenebilir ki ucuncu ve dorduncu ifadelerin esitligini saglamak icin gereken kosul $X$ ve $Y$ nin bibirinden bagimsiz olmasidir.

Ilgi cekebilen bir diger hal de, $a i = 1 / n$ oldiugu halde $S n$ nin orneklem ortalamasi olmasidir.Bu halde ortalama yerine $\overline{X}$ konulursa

$\varphi_{\overline{X}}(t)=\left(\varphi_X(t/n)\right)^n.$

olur

[değiştir] Momentler

Karekteristik fonksiyonlar bir rassla degiskenin momentlerini bulmak icin de kullanilabilir. Eger ninci moment mevcut ise, karekteristik fonksiyonun n dereceye kadar arka arkaya turevi alinabilir ve

$\operatorname{E}\left(X^n\right) = i^{-n}\, \varphi_X^{(n)}(0) = i^{-n}\, \left[\frac{d^n}{dt^n} \varphi_X(t)\right]_{t=0}. \,\!$

olur.

Ornegin, $X$ bir standart Cauchy dagilimi gostersin. O halde bunun $t = 0$ noktasinda turevinin bulunmadigini gostermek Cauchy dagilimi icin hicbir beklenen deger olmadigini gosterir. Ayni orneginde $n$ tane bagimsiz gozlem icin orneklem ortalamasi olan $\overline{X}$ in karakteristik fonksiyonu

$\varphi_{\overline{X}}(t)=(e^{-|t|/n})^n=e^{-|t|}$

olur ve bunu standart bir Cauchy dagilimi icin karakteristik fonksiyon oldugu gozumlenebilir. Boylece Cauchy dagilimi icin orneklem ortalamasi icin dagilim anakultle dagilimi ile ayni dagilim oldugu anlasilmaktadir.

Bir karakteristik fonksiyonun logaritması bir kümülant üreten fonksiyon olur ve bu fonksiyon kümülantları bulmak için yararlıdır.

[değiştir] Bir örneğin

[değiştir] Çoklu-değişirli karekteristik fonksiyonlar

[değiştir] Örneğin

[değiştir] Matris değerli rassal değişkenler

[değiştir] İlişkili kavramlar

[değiştir] Referanslar

^[1]
^[2]

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.