Zeta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

zeta
Olasılık kütle fonksiyonu log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak icin verilmistir; süreklilik ifade etmezler.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$s\in(1,\infty)$
Destek	$k \in \{1,2,\ldots\}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	$\frac{1/k^s}{\zeta(s)}$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)	$\frac{H_{k,s}}{\zeta(s)}$
Ortalama	$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2$
Medyan
Mod	$1\,$
Varyans	$\frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3$
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi	$\sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}$
Karakteristik fonksiyon	$\frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir aralıklı olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tamsayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

$f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,$

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Konu başlıkları

1 Momentler
- 1.1 Moment üreten fonksiyon
2 s=1 hali
3 İçsel kaynaklar
4 Kaynak
5 Dışsal bağlantılar

[değiştir] Momentler

Genel olarak, ninci ham moment Xⁿin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

$m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}$

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

$m_n =\left\{ \begin{matrix} \zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\ \infty & \textrm{for}~n \ge s-1 \end{matrix} \right.$

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s − 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

[değiştir] Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

$M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.$

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve $e t < 1$ için geçerlidir ve bu halde

$M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0.$

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},$

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir snin sonsuz olmayan değeri icin kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

$\scriptstyle |t|\,<\,2\pi$

için şu ifadeyi elde ederiz:

$\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}$

$\scriptstyle\Phi(s,t)$ değeri şöyle verilir

$\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots$

$\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots$

$\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,$

burada H_s bir harmonik sayı olur.

[değiştir] s=1 hali

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tamsayılar seti ise yani

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}$

var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

$\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,$

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tamsayısı ;d olan bütün pozitif tamsayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama gecerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

$\log(d+1) - \log(d),\,$

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

[değiştir] İçsel kaynaklar

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

Benford'un savı
Cauchy dağılımı
Lévy dağılımı
Lévy çarpık alpha-durağan dağılımı
Pareto dağılımı
Zipf'in savı
Zipf-Mandelbrot savı

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki Mart 2008 tarihli Zeta_distribution maddesi

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Some remarks on the Riemann zeta distribution by Allan Gut. Gut'un “Reieman zeta dağılımı” olarak andıgı X bir rassal değisken olarak −log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır.

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Aralıklı:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Aralıklı faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Aralıklı tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Caucy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonrasal · Öncel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Zeta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Konu başlıkları

[değiştir] Momentler

[değiştir] Moment üreten fonksiyon

[değiştir] s=1 hali

[değiştir] İçsel kaynaklar

[değiştir] Kaynak

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Views

Sitede yol bulma

proje

Ara

Diğer diller