Skellam dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Skellam
Olasılık kütle fonksiyonu Skellam dağılımının olasılık kütle fonksiyonu için örnekler. Yatay eksen k indeksidir. Noktaları bağlayan doğru parçaları görüş kolaylığı içindir, süreklilik ifade etmez.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$\mu_1\ge 0,~~\mu_2\ge 0$
Destek	$\{\ldots, -2,-1,0,1,2,\ldots\}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	$e^{-(\mu_1\!+\!\mu_2)} \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^{k/2}\!\!I_k(2\sqrt{\mu_1\mu_2})$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	$\mu_1-\mu_2\,$
Medyan	N/A
Mod
Varyans	$\mu_1+\mu_2\,$
Çarpıklık	$\frac{\mu_1-\mu_2}{(\mu_1+\mu_2)^{3/2}}$
Fazladan basıklık	$1/(\mu_1+\mu_2)\,$
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	$e^{-(\mu_1+\mu_2)+\mu_1e^t+\mu_2e^{-t}}$
Karakteristik fonksiyon	$e^{-(\mu_1+\mu_2)+\mu_1e^{it}+\mu_2e^{-it}}$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Skellam dağılımı bir aralıklı olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerleri $μ 1$ ve $μ 2$ olan Poisson dağılımı gösteren rassal değişken $K 1$ ve $K 2$ arasında bulunan fark olan $K 1 - K 2$ nin gösterdiği olasılık dağılımdır.

Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol,buz hokey ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan yayılmış bahis (spread betting) yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit foton gürültüsünü (photon noise) açıklamak için kullanılmıştır.

[değiştir] Karaketeristikler

Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılmasi ile ortaya çıkan sonuçlar için bakin ^[1]]

Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:

$f(k;\mu)={\mu^k\over k!}e^{-\mu}\,$

Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946):

$f(k;\mu_1,\mu_2) =\sum_{n=-\infty}^\infty \!f(k\!+\!n;\mu_1)f(n;\mu_2)$

$=e^{-(\mu_1+\mu_2)}\sum_{n=-\infty}^\infty {{\mu_1^{k+n}\mu_2^n}\over{n!(k+n)!}}$

$= e^{-(\mu_1+\mu_2)} \left({\mu_1\over\mu_2}\right)^{k/2}I_k(2\sqrt{\mu_1\mu_2})$

Burada I _k(z) birinci şekilde değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktoriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan $μ 1 = μ 2 ( = μ)$ için bakin ^[2]

$f\left(k;\mu,\mu\right) = e^{-2\mu}I_k(2\mu)$

Eğer değerler küçükse Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını $μ 2 = 0$ için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.

[değiştir] Özellikler

Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:

$\sum_{k=-\infty}^\infty f(k;\mu_1,\mu_2)=1.$

Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:

$G\left(t;\mu\right)= e^{\mu(t-1)}.$

Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık ureten fonksiyon ortaya çıkartılır:

$G(t;\mu_1,\mu_2) = \sum_{k=0}^\infty f(k;\mu_1,\mu_2)t^k$

$= G\left(t;\mu_1\right)G\left(1/t;\mu_2\right)\,$

$= e^{-(\mu_1+\mu_2)+\mu_1 t+\mu_2/t}.$

Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.

Bazı referanslara gore iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bilesigi de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.

Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:

$M\left(t;\mu_1,\mu_2\right) = G(e^t;\mu_1,\mu_2)$

$= \sum_{k=0}^\infty { t^k \over k!}\,m_k$

Bunlardan ham moment değerleri m_k bulmak icin şu tanımlara bakılsın:

$\Delta\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mu_1-\mu_2\,$

$\mu\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ (\mu_1+\mu_2)/2.\,$

Bunlardan 3 ham moment m_k değerleri şöyle çıkartılır:

$m_1=\left.\Delta\right.\,$

$m_2=\left.2\mu+\Delta^2\right.\,$

$m_3=\left.\Delta(1+6\mu+\Delta^2)\right.\,$

Merkezsel momentler M _k şunlardır:

$M_2=\left.2\mu\right.,\,$

$M_3=\left.\Delta\right.,\,$

$M_4=\left.2\mu+12\mu^2\right..\,$

ortalama, varyans, çarpıklık katsayısı and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::

$\left.\right.E(n)=\Delta\,$

$\sigma^2=\left.2\mu\right.\,$

$\gamma_1=\left.\Delta/(2\mu)^{3/2}\right.\,$

$\gamma_2=\left.1/2\mu\right..\,$

Kumulant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:

$K(t;\mu_1,\mu_2)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \ln(M(t;\mu_1,\mu_2)) = \sum_{k=0}^\infty { t^k \over k!}\,\kappa_k$

ve bundan u kumulant değerleri elde edilir:

$\kappa_{2k}=\left.2\mu\right.$

$\kappa_{2k+1}=\left.\Delta\right. .$

Özel hal olan μ₁ = μ₂ için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadir. ^[3].

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki Mart 2008 tarihli Skellam_distribution maddesi

[değiştir] Referanslar

Abramowitz, M. ve Stegun, I. A. (Eds.). 1972. Modified Bessel functions I and K. Sections 9.6–9.7 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, pp. 374–378. New York: Dover.

Irwin, J. O. 1937. The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution. Journal of the Royal Statistical Society: Series A 100 (3): 415–416. [1]

Karlis, D. ve Ntzoufras, I. 2003. Analysis of sports data using bivariate Poisson models. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician) 52 (3): 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366

Karlis D. ve Ntzoufras I. (2006). Bayesian analysis of the differences of count data . Statistics in Medicine 25, 1885-1905. [2]

Skellam, J. G. 1946. The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. Journal of the Royal Statistical Society: Series A 109 (3): 296. [3]

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Aralıklı:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Aralıklı faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Aralıklı tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Caucy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonrasal · Öncel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

Sayfa kategorileri: Olasılık ve istatistik | Aralıklı olasılık dağılımları

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Skellam dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Konu başlıkları

[değiştir] Karaketeristikler

[değiştir] Özellikler

[değiştir] Kaynak

[değiştir] Referanslar

Views

Sitede yol bulma

proje

Ara

Diğer diller