Variabile casuale gamma

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La variabile casuale Gamma o variabile casuale erlanghiana è una variabile casuale continua che viene definita da due parametri (indicati qui di seguito con a e p). Secondo taluni il termine "Gamma" in senso stretto si riferisce solo al caso in cui a=1, mentre negli altri casi bisognerebbe utilizzare "Erlanghiana".

Viene usata nell'ambito della teoria delle file d'attesa e delle telecomunicazioni, - dove venne introdotta nel 1917 da Agner Krarup Erlang - mentre in statistica viene usata per via di alcuni suoi casi particolari e per il suo ruolo nell'inferenza bayesiana.

Indice 1 Caratteristiche 2 Teoremi 2.1 Divisione di due Gamma in senso stretto 2.2 Dalla Gamma alla Dirichlet 3 La v.c.Gamma nell'inferenza bayesiana 3.1 Priori coniugati e la stessa v.c. Gamma 3.2 Priori coniugati e la v.c. poissoniana 3.3 Priori coniugati e la v.c. Normale 4 Voci correlate

[modifica] Caratteristiche

La funzione di densità di probabilità è

dove la Γ() è la funzione Gamma, per la quale si ricorda che nel caso di numero intero non negativo n si ha

Γ(n + 1) = n!,

La funzione generatrice dei momenti è per cui

media

μ = p/a

varianza

σ² = p/a²

simmetria

β₁ = 4/p

curtosi

β₂ = 3 + 6/p

moda

ν₀=(p-1)/a per p≥2

Si ricava che se p→+∞, allora β₁ tende a zero e β₂ tende a 3 (come la v.c. normale), infatti per p→+∞ la v.c. Gamma tende ad una Normale N( p/a , p/a² ).

Alcuni casi particolari:

• Se a=1/2 e p=g/2 allora siamo nel caso della Chi Quadrato.
• Se p=1, allora siamo nel caso della variabile casuale esponenziale negativa

Un'altra delle caratteristiche è che se a=1 e p-1=k intero, allora la funzione di densità di probabilità diventa che è la Bayesiana della v.c.Poissoniana

[modifica] Teoremi

[modifica] Divisione di due Gamma in senso stretto

Se

X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m

allora

Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m

[modifica] Dalla Gamma alla Dirichlet

Se si hanno k v.c. indipendenti distribuite ciascuna come una v.c. Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato

definendo la loro somma come

allora si ha che

dove Dir_k è la variabile casuale di Dirichlet.

[modifica] La v.c.Gamma nell'inferenza bayesiana

La v.c. Gamma svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana in quanto per alcune v.c. è sia la distirubuzione a priori che la distribuzione a posteriori (con parametri diversi) dei parametri di tali v.c.

[modifica] Priori coniugati e la stessa v.c. Gamma

Se X è distribuita come una v.c. Gamma con parametri α e θ

f(x | / theta) = Gamma(x | α;θ)

e il parametro θ è distribuito a priori a sua volta come una v.c. Gamma con i parametri a e b

g(θ) = Gamma(θ | a;b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+α e b+x

g(θ | x) = Gamma(θ | a + α;b + x)

[modifica] Priori coniugati e la v.c. poissoniana

Se X è distribuita come una v.c. poissoniana con parametro λ

f(x | λ) = Poiss(x | λ)

e il parametro λ è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri a e b

g(λ) = Gamma(λ | a;b)

allora il parametro λ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+x e b+1

g(λ | x) = Gamma(θ | a + x;b + 1)

[modifica] Priori coniugati e la v.c. Normale

Se X è distribuita come una v.c. Normale con parametro μ e 1/θ

f(x | θ) = N(x | μ;1 / θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri a e b

g(λ) = Gamma(λ | a;b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+1/2 e b+(μ-x)²/2

g(θ | x) = Gamma(θ | a + 1 / 2;b + (μ − x)² / 2)

[modifica] Voci correlate

• Variabile casuale Erlang B
• v.c. esponenziale negativa e Chi Quadrato: casi particolari della Gamma
• v.c. F di Snedecor (che tende ad una v.c. Gamma se il secondo grado di libertà è molto grande)
• v.c. Beta
• statistica, variabile casuale, probabilità