Variabile casuale esponenziale negativa

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**Variabile casuale esponenziale**
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Parametri	$λ > 0$ , detto intensità
Supporto	$\mathbb{R}_+$
Funzione di densità	$\ \lambda e^{-\lambda x}$
Funzione di ripartizione	$\ 1 - e^{-\lambda x}$
Valore atteso	$\lambda^{-1}\,$
Mediana	$\ln(2)/\lambda\,$
Moda	$0\,$
Varianza	$\lambda^{-2}\,$
Skewness	$2\,$
Curtosi	$6\,$
Entropia	$1 - \ln(\lambda)\,$
Funz. Gen. dei Momenti	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
Funz. Caratteristica	$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

La variabile casuale esponenziale negativa (o semplicemente esponenziale) è un caso particolare della variabile casuale Gamma in cui il parametro $p$ è posto uguale a 1. Il parametro $λ$ della variabile casuale esponenziale corrisponde al secondo parametro della variabile casuale Gamma.

È spesso usata per modellare il tempo tra eventi indipendenti che avvengono con una frequenza media costante.

[modifica] Teoremi

[modifica] Somma di due v.c. esponenziali negative

Se: $X$ e $Y$ sono due variabili casuali identiche e indipendenti distribuite come una Esponenziale Negativa con parametro $λ$
allora: $Z = X + Y$ è una variabile casuale Gamma con parametri $λ$ e $p = 2$ .

[modifica] Esponenziale negativa e v.c. poissoniana

La variabile casuale esponenziale negativa è posta in relazione alla variabile casuale poissoniana in quanto:

se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro $λ$ ),
allora: l'intervallo di tempo intercorrente tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con parametro $λ$ ;

e viceversa. Questo risultato definisce un processo stocastico Poissoniano.

[modifica] v.c. Esponenziale e Weibull

Se X è una variabile casuale di Weibull: $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 1, \lambda^{-1})$ allora $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ è una v.c. Esponenziale Negativa

Se $X$ è una v.c. esponenziale con parametro $λ$ , allora la v.c. $Y := X^c ~(c>0)$ è una v.c. di Weibull con i parametri $α = λ$ e $β = 1 / c$ . Come dimostrazione si osservi la cumulata di Y:

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^c \le y) = P(X \le y^{1/c}) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^{1/c}},~y > 0$ .

che è la cumulata della Weibull (cvd).

[modifica] Esempio

Supponiamo che in un certo comune nascano ogni anno circa 100 bambini. Ci si aspetta quindi che nascano 100/365=0,274 bambini al giorno (ovviamente ne nascono o zero o uno o due... e mai frazioni di bambini!)

Domanda: quanto tempo passa tra la nascita di un bambino e l'altro?

Il problema ci dice che il numero di bambini nati in un giorno si distribuisce come la variabile casuale poissoniana con $λ = 0,274$ (si veda a tal proposito la relazione che lega la poissoniana alla binomiale).

Il teorema sopra indicato ci dice che possiamo usare la esponenziale negativa, con $a = λ = 0,274$ ovvero

f(x) = 0,274 · e^{-0,274 x}

e che mediamente passano μ=1/a=1/0,274=3,65 giorni tra una nascita e l'altra (=365 giorni / 100 nati). L'integrale è:

F(y) = ₀∫^yf(x) dx = 1 - e^{-0,274 y}

per F(y)=0,95 si ottiene y=-ln(1-0,95)/0,274=10,9 , vale a dire che nel 95% dei casi, dopo la nascita di un bambino il riposo per l'equipe ostetrica non supera i 10,9 giorni (si veda pure l'esempio molto simile fatto per la v.c. Geometrica)

Ma, ponendo y=1, solo nel 23,9% dei casi la pausa è inferiore alle 24 ore: F(1)=0,23967.

Quindi un'equipe ostetrica che operi unicamente in questo comune, in un anno farà circa 5 pause da 11 giorni o più, e circa 24 volte l'anno si rimetterà al lavoro entro le 24 ore.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Variabili casuali

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Indice

[modifica] Teoremi

[modifica] Somma di due v.c. esponenziali negative

[modifica] Esponenziale negativa e v.c. poissoniana

[modifica] v.c. Esponenziale e Weibull

[modifica] Esempio

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