Variabile casuale di Weibull

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La variabile casuale di Weibull o distribuzione di Weibull (dallo svedese Waloddi Weibull,1887-1979) è una variabile casuale continua utilizzata ad es. per il calcolo della vita media dei componenti nell'ambito dei controlli di qualità industriali. Si impiega soprattutto in ricerche sugli affaticamenti di materiali fragili o sui guasti di componenti elettronici, come pure in indagini statistiche sulle velocità del vento.

[modifica] Applicazioni

Un esempio dell'applicazione della v.c. di Weibull è la descrizione della probabilità che una catena produttiva si fermi. Il guasto di un suo componente porta all'arresto di tutta la catena. Simile situazione nei materiali: basta una crepa che superi una determinata dimensione per rendere inutilizzabile l'intero pezzo.

Viene spiegata così pure la dipendenza della robustezza di un materiale dalla sua forma geometrica. L'allungamento di una catena (o di un elemento prefabbricato fragile) riduce la sua resistenza, mentre il rafforzamento dei singoli anelli (o l'ampliamento della sezione trasversale) la rinforza.

La v.c. di Weibull può essere utilizzata per descrivere il tasso di guasto di un sistema tecnico con andamento crescente, costante o decrescente.

Nella pratica la distribuzione di Weibull è quella più frequentemente utilizzata nel calcolo delle vite medie accanto alla variabile casuale esponenziale.

[modifica] Aspetti metodologici

La funzione di densità di probabilità della v.c. di Weibull è data da

$f(x)=\alpha \beta x^{\beta - 1} e^{- \alpha x^ \beta}$

e la sua cumulata è

$F(x)=1-e^{- \alpha x^ \beta}$

per $x$ > 0, $α$ > 0 e $β$ > 0.

Il suo valore atteso e la sua varianza sono, rispettivamente:

$E(X)=\alpha^{-1/ \beta} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{\beta}+1\right)$

$V(X)=\alpha^{-2/ \beta} \cdot \left(\Gamma\left(\frac{2}{\beta}+1\right)- \Gamma \left(\frac{1}{\beta}+1\right)^2 \right) ,$

dove $Γ$ è la funzione Gamma.

Il grafico mostra che la funzione di densità di probabilità per diversi valori di $β$ . Si vede che per $β$ = 1 si ottiene la variabile casuale esponenziale. Per $β$ < 1 si ottiene un tasso di mortalità monotono decrescente. La parentela con la v.c. esponenziale va ancora oltre.

[modifica] Teoremi

[modifica] Variabile casuale esponenziale e Weibull

$X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ è una variabile casuale esponenziale se $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 1, \lambda^{-1})$ .

Se $X$ è una v.c. esponenziale con parametro $λ$ , allora la v.c. $Y = X^c ~(c>0)$ è una v.c. di Weibull con i parametri $α = λ$ e $β = 1 / c$ . Come dimostrazione si osservi la cumulata di $Y$ :

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^c \le y) = P(X \le y^{1/c}) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^{1/c}},~y > 0$ .

che è la cumulata della Weibull (cvd).

[modifica] Variabile casuale Rayleigh e Weibull

$X \sim \mathrm{Rayleigh}(\beta)$ è una variabile casuale di Rayleigh se $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 2, \sqrt{2} \beta)$ .

[modifica] Variabile casuale rettangolare e Weibull

$\lambda(-\ln(X))^{1/k}\,$ è una v.c. Weibull se X è distribuita come una variabile casuale rettangolare definita tra zero e uno.

[modifica] Rappresentazione alternativa

La funzione di densità di probabilità può essere parametrizzata anche nel seguente modo:

$f(t)=\frac{b}{T} \, \left(\frac{t}{T}\right)^{b-1} \, e^{-\left(\frac{t}{T}\right)^b}$

con la cumulata

$F(t)=1-e^{-\left(\frac{t}{T}\right)^b}$

per $t$ > 0, $T$ > 0 e $b$ > 0, dove $t$ è il tempo (o la resistenza,...), $T$ la vita media caratteristica (cioè la vita media con una probabilità di guasto del 62,3%, il livello di resistenza con una probabilità di guasto del 62,3%,...) e $b$ il cosiddetto modulo $m$ di Weibull.
Se si rappresenta la distribuzione nella forma

$\ln{\ln{\frac{1}{1-F(t)}}}=b \, \ln(t) - b \, \ln(T)$

si ottiene una retta, dove il parametro $b$ viene interpretato come pendenza. Il parametro $T$ può essere calcolato nel seguente modo

$T=e^{-\left(\frac{a}{b}\right)}$

dove $a$ è l'intersezione con l'ordinata.

Spesso accade che, nonostante la sollecitazione, si verifichino dei guasti solo dopo un tempo di utilizzo $t 0$ (ad es., guarnizioni dei freni usurate). Anche questo può essere preso in considerazione dalla v.c. di Weibull, che può essere rappresentata nel seguente modo:

$F(t)=1-e^{-\left(\frac{t-t_0}{T-t_0}\right)^b}$

Tracciando anche in questo caso la funzione, non si ottiene una retta ma una curva convessa verso l'alto. Se si spostano tutti i punti intorno al valore $t 0$ , la curva diventa una retta.