Gamma-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

**Gamma**
kansdichtheid
Kansverdelingsfunctie
Parameters	$k > 0\,$ $\theta > 0\,$
Drager	$x \in [0; \infty)\!$
kansdichtheid	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
Kansverdeling	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!$
Verwachtingswaarde	$k \theta\,\!$
Mediaan
Modus	$(k-1) \theta\,\!$ als $k \geq 1\,\!$
Variantie	$k \theta^2\,\!$
Scheefheid	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
Kurtosis	$\frac{6}{k}\,\!$
Entropie	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
Moment- genererende functie	$(1 - \theta\,t)^{-k}\,\!$ als $t < 1/\theta\,\!$
Karakteristieke functie	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

In de kansrekening en statistiek is de gamma-verdeling een continue kansverdeling, met twee parameters. De exponentiële verdeling en chi-kwadraatverdeling zijn specifieke gevallen van de gamma verdeling.

[bewerk] Definitie

De kansdichtheid van de gamma-verdeling is als volgt:

$f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} \ \mathrm{als }\ x > 0 \,\!$

waarbij $Γ(k)$ de gammafunctie is (als k een geheel getal is, geldt dat $Γ(k) = (k - 1)!$

[bewerk] Eigenschappen

Als X een gamma(1,θ)-verdeling heeft, dan heeft X een exponentiële verdeling met parameter $λ = 1 / θ$ .
Als X een gamma(k,θ)-verdeling heeft, dan heeft cX een gamma(k, cθ)-verdeling, voor een willekeurige c > 0.
Als X₁, ...,X_n onafhankelijk en identiek verdeeld zijn volgens de exponentiële verdeling met parameter λ, dan heeft X₁+...+X_n een gamma(n, 1/λ)-verdeling.
De gamma(k,2)-verdeling is identiek aan χ²(2k); de chi-kwadraatverdeling met 2k vrijheidsgraden.

[bewerk] Toepassingen

De gamma-verdeling wordt vaak gebruikt wanneer er meerdere, onderling onafhankelijke, experimenten met een exponentiële verdeling in het spel zijn. Stel dat de wachttijd in minuten op de bus bij een halte een exponentiële verdeling met parameter λ = 10 volgt, dan is, onder bepaalde onafhankelijkheids aannames, de wachttijd op de vijfde bus verdeeld volgens de gamma(5,1/10)-verdeling.

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal

Kansverdelingen

Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta

Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull

Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal