Karakteristieke functie (kansrekening)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De karakteristieke functie van een stochastische variabele X is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële t gegeven wordt door :

$\varphi_X(t) = {\mathrm E}\left(e^{itX}\right).$

Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van X, d.w.z. dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

$\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\ dF_X(x),$

waarin $F X$ de verdelingsfunctie van X is.

Als X de kansdichtheid $f X$ heeft, gaat deze integraal over in:

$\int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\ dx\,$

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op $\mathbb R$ of $\mathbb R^n$ gedefinieerd is.

Inhoud

1 Voorbeelden
- 1.1 Normale verdeling
- 1.2 Exponentiële verdeling
2 Eigenschappen

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters μ en σ is de karakteristieke functie:

$\varphi_X(t) = \frac 1{ \sigma\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^\infty e^{itx} e^{-\frac 12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \mathrm{d}x = e^{i\mu t-\frac 12\sigma t^2}.$

[bewerk] Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de karakteristieke functie:

$\varphi_X(t) = \lambda \int_0^\infty e^{itx} e^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \frac{\lambda}{\lambda-it}$

[bewerk] Eigenschappen

De karakteristieke functie is continu in de parameter t. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in t=0.

Voor elk positief geheel getal n, elk stel van n reële getallen t₁,...,t_n en n complexe getallen z₁,...,z_n geldt

$\sum_{i,j=1}^nz_i\overline z_j\varphi_X(t_j-t_i)\geq0$

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie f(t) de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen X en Y geldt: