Normale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

**Normale verdeling**
Kansdichtheid De groene curve toont de standaardnormale verdeling
Kansverdelingsfunctie Kleuren komen overeen met de kansdichtheidsfunctie hierboven
Parameters	$μ$ locatie (reëel) $σ 2 > 0$ gekwadrateerde schaal (reëel)
Drager	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
Kansdichtheid	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Kansverdeling	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Verwachtingswaarde	$μ$
Mediaan	$μ$
Modus	$μ$
Variantie	$σ 2$
Scheefheid	0
Kurtosis	0
Entropie	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Moment- genererende functie	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Karakteristieke functie	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

De normale verdeling of Gauss-verdeling (genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss) is een begrip uit de kansrekening. Deze verdeling vindt onder meer toepassing in de statistiek. Het is een continue kansverdeling met een asymptotisch gedrag. De bijbehorende kansdichtheid is hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze kansdichtheid ook wel klokkromme of Gausscurve genoemd. Ze wordt gegeven door de formule:

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-\frac 12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2 }$ ,

waarin twee parameters, μ en σ, voorkomen. De normale verdeling wordt wel genoteerd als N(μ,σ²)-verdeling, wat wil zeggen dat het een normale verdeling is met verwachtingswaarde μ en standaardafwijking σ.

De integraal van deze functie, voor x lopend van $-\infty$ tot $+\infty$ , is precies 1.

De normale verdeling is symmetrisch om het centrum: de verwachtingswaarde μ van de verdeling is het 'middelpunt' van de grafiek van de verdelingsfunctie. De 'breedte' van de grafiek van de kansdichtheid wordt gekarakteriseerd door de standaarddeviatie σ (of de variantie σ²).

[bewerk] Standaardnormale verdeling

Een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie 1, de N(0,1)-verdeling, wordt een standaardnormale verdeling genoemd. De bijbehorende dichtheid is:

$\phi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi} }\,e^{-{1 \over 2}x^2}$

Zie ook: z-scores.

[bewerk] Kenmerkende kwantielen

Binnen één standaarddeviatie van de verwachtingswaarde ligt 68% van het oppervlak onder de grafiek van de kansdichtheid van de normale verdeling, 95% binnen twee standaarddeviaties. De curve gaat daarna vrij snel naar nul: 99,99% van het oppervlak ligt binnen vier standaarddeviaties van het midden. Afwijkingen van meer dan vier standaarddeviaties van het midden zijn dus zeer zeldzaam.

[bewerk] Voorkomen

Voor heel veel natuurlijk voorkomende verschijnselen is een normale verdeling een goede beschrijving van de frequentie waarmee bepaalde meetwaarden kunnen voorkomen; daarom wordt vaak een normale verdeling verondersteld voor de onderliggende (populatie)verdeling. De parameters μ en σ² van deze normale verdeling kunnen dan benaderd worden (geschat) met resp. het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ en de steekproefvariantie s². Zo kan men een schatting maken van de gemiddelde lengte van Nederlandse mannen en de standaarddeviatie van de verdeling door een steekproef van een honderdtal mannen te nemen en daarvan de lengte te meten. De wiskunde vertelt ook hoe nauwkeurig in zo'n geval $\bar{x}$ een benadering is voor μ en hoe nauwkeurig s² een benadering is voor σ².

Andere voorbeelden van grootheden die als normaal verdeeld beschouwd kunnen worden, zijn:

de maximumtemperatuur op 5 augustus in De Bilt, gemeten over verschillende jaren
de afwijking van klokken van één bepaald merk in seconden per dag
de intelligentie van een grote groep proefpersonen van dezelfde leeftijd
...

Bij medische laboratoriumtests wordt dikwijls aangenomen dat de bij gezonde proefpersonen gevonden waarden een normale verdeling vertonen. De waarden binnen een afstand van 2 * de standaarddeviatie van het midden worden dan "normaal" genoemd. Volgens deze definitie wordt bij 5% van de gezonde mensen een abnormale waarde gevonden.

[bewerk] Normale benadering

Normale verdeling (blauw), als benadering van een binomiale verdeling

In een groot aantal gevallen kan een verdeling benaderd worden door een geschikt gekozen normale verdeling. In het bijzonder in die gevallen waarin de centrale limietstelling van praktische toepassing is. Zo kan een binomiale verdeling met parameters n en p, voor grotere waarden van n en gemiddelde waarden voor p, benaderd worden door een normale verdeling met dezelfde verwachting en variantie als de binomiale, dus door een N(np,np(1-p))-verdeling. In de figuur is dit geschetst voor n=48 en p=0,25. Als X een stochastische variabele is met de genoemde binomiale verdeling, kunnen we X praktisch als N(12,9)-verdeeld beschouwen. Dan is:

$P(X \leq 15) \approx P(Y\leq 15) = P(Z \leq \frac{15-12}{3}) = \Phi(1) = 0,8415$ .

Hierin is Y N(12,9)-verdeeld, Z standaardnormaal en Φ de standaardnormale verdelingsfunctie. De benadering is beter als de zgn. continuïteitscorrectie wordt toegepast. Deze berust op de vaststelling dat $P(X \leq 15) = P(X<16)$ , maar de bijbehorende benaderingen $P(Y\leq 15)$ en $P (Y < 16)$ enigszins verschillen. Als betere benadering neemt men: $P(Y\leq 15 + \frac{1}{2})$ .

[bewerk] Bivariate normale verdeling

De eendimensionale normale verdeling heeft equivalenten in meer dimensies; deze worden multivariate normale verdelingen genoemd. De bivariate normale verdeling, dus in twee dimensies, wordt bepaald door 5 parameters, μ, σ, ν, τ en ρ, die respectievelijk de verwachting en standaardafwijking in de eerste en tweede dimensie voorstellen en de correlatiecoëfficiënt tussen beide dimensies. Men noteert hiervoor wel: N $(μ,σ 2,ν,τ 2,ρ)$ -verdeling. De kansdichtheid is:

$f(x,y) = \frac 1{2\pi \sigma\tau\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac 1{2(1-\rho^2)}\left(\left({x-\mu \over \sigma}\right)^2-2\rho \left({x-\mu \over \sigma}\right)\left({y-\nu \over \tau}\right)+\left({y-\nu \over \tau}\right)^2\right)\right)$ .

De structuur van de formule is beter te zien voor de N(0,1,0,1,ρ)-verdeling. Dan is de kansdichtheid:

$f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-{x^2-2\rho xy+y^2 \over 2(1-\rho^2)}\right)$ .

Zie ook multivariate normale verdeling.

[bewerk] Andere verdelingen

De normale verdeling is geen goede beschrijving voor een populatie die is opgebouwd uit verschillende subpopulaties, waardoor soms een meertoppige verdeling ontstaat.

Ook is de normale verdeling geen goede beschrijving voor verdelingen waarbij een klein aantal heel grote afwijkingen mogelijk is. Men spreekt dan van dikke staarten. In dat geval kan soms de t-verdeling gebruikt worden.

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal

Kansverdelingen

Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta

Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull

Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal

Categorie: Continue verdeling

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Normale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Inhoud

[bewerk] Standaardnormale verdeling

[bewerk] Kenmerkende kwantielen

[bewerk] Voorkomen

[bewerk] Normale benadering

[bewerk] Bivariate normale verdeling

[bewerk] Andere verdelingen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen