Distribució normal
De Viquipèdia
La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és una important família de distribucions de probabilitat contínues i és aplicable a molts camps. Cada membre de la família queda definit per dos paràmetres: la localització o mitjana i l'escala o desviació estàndard. Un cas particular és la distribució normal estàndard, pel qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1.
Fou Carl Friedrich Gauss qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i definí l'equació de la seva funció de densitat de probabilitat [1]. Aquesta distribució també s'anomena campana de Gauss, doncs el gràfic de la seva funció de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.
La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en el teorema central del límit. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre de efectes independents segueix una distribució normal. D'aquesta manera, és útil en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots ells contribuint una petita porció a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'inferència estadística, el teorema central del límit garanteix que un llarg nombre d'estadístics segueixen la distribució normal, si més no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors màxim versemblants segueixen aproximadament una distribució normal sota certes condicions matemàtiques que són força generals.
Taula de continguts |
[edita] Funció de densitat de probabilitat
on σ és la desviacio estàndard, μ és l'esperança matemàtica, i
és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la integral de 
sobre la recta real és igual a 1 vegeu la integral de Gauß.
[edita] Funció de distribució
No existeix una fòrmula tancada per a la funció de distribució, però pot aproximar-se amb diversos mètodes, com integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques i fraccions continuades.
[edita] Funcions generadores
[edita] Funció generadora de moments
La funció generadora de moments es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(tX). Per la distribució normal la funció generadora de moments és:
![\begin{align}
M_X(t) & {} = \mathrm{E} \left[ \exp{(tX)} \right] \\
& {} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} }
\exp{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)}
\exp{(tx)} \, dx \\
& {} = \exp{ \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}
\end{align}](../../../../math/e/c/3/ec3e32bd3a987126f3c3b40e239fa768.png)
[edita] Funció característica
La funció característica es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(itX), on i és el nombre imaginari, i t és un nombre real. Per la distribució normal la funció característica és:
![\begin{align}
\chi_X(t;\mu,\sigma) &{} = M_X(i t) = \mathrm{E}
\left[ \exp(i t X) \right] \\
&{}=
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
\exp
\left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}
\right)
\exp(i t x)
\, dx \\
&{}=
\exp
\left(
i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right).
\end{align}](../../../../math/3/7/e/37e8462c5cc0193558226a94aa4f2a03.png)
[edita] Propietats
Algunes propietats:
- Si
i a i b són nombres reals, aleshores 
(veure esperança i variància). - Si
i 
són variables aleatòries normals independents, aleshores:
- La seva suma segueix la distribució normal amb
. - La seva diferència segueix una distribució normal amb
. - U i V són independents.
- La divergència de Kullback-Leibler,
- La seva suma segueix la distribució normal amb
- Si
i 
són variables aleatòries normals independents, aleshores:
- El seu producte XY segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat p donada per
on K0 és una funció de Bessel modificada de segon tipus.
- El seu qüocient segueix una distribució de Cauchy amb
.
- El seu producte XY segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat p donada per
- Si
són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores 
segueix una distribució chi-quadrat amb n graus de llibertat.
[edita] Estandaritzant variables aleatòries normals
Com a conseqüència de la Propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard.
Si 
, aleshores
és una variable aleatòria normal estàndard: 
. Una conseqüència important és que la funció de distribució de 
és :
on Φ és la funció de distribució normal estàndard: per a tot real t,
D'altra banda, si Z és una variable aleatòria normal estàndard, , aleshores
és una variable aleatòria normal amb esperança μ i variància σ2.
La funció de distribució normal estàndard Φ ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal i com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altre distribució normal.
[edita] Moments
Alguns dels primers moments de la distribució normal són:
| Número | Moment | Moment central | Cumulant |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | μ | 0 | μ |
| 2 | μ2 + σ2 | σ2 | σ2 |
| 3 | μ3 + 3μσ2 | 0 | 0 |
| 4 | μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 | 3σ4 | 0 |
Tots els cumulants de la distribució normal a partir del segon són zero.
