Multinomiale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de kansrekening en de statistiek is de multinomiale verdeling een discrete, multivariate kansverdeling die gezien kan worden als de veralgemenisering van de binomiale verdeling. De binomiale verdeling is de kansverdeling van het aantal successen in n onafhankelijke Bernoulli-experimenten met gelijke succeskans p. Wanneer een experiment met aselecte trekkingen niet slechts twee uitkomsten (bv. succes en mislukking) heeft, maar meer, beschrijft de multinomiale verdeling de kansen op mogelijke aantallen van de verschillende uitkomsten, wanneer zo'n experiment een vast aantal keren herhaald wordt.

Als voorbeeld kan men denken aan het trekken van een kaart uit een goed geschud pak speelkaarten. De getrokken kaart wordt teruggelegd en na goed schudden wordt het experiment herhaald. Als uitkomst noteert men de kleur van de getrokken kaart. Er zijn vier mogelijkheden: schoppen (♠), harten (♥), ruiten (♦) en klaveren (♣). Bij elke trekking is de kans 1/4 op elk van deze kleuren. De kansverdeling van het aantal getrokken kaarten van de vier kleuren bij 10 keer trekken is een multinomiale verdeling. De kans op bijvoorbeeld de gebeurtenis 1♠, 2♥, 3♦ en 4♣ bepaalt men door te bedenken dat de mogelijkheid dat de kaarten in de aangegeven volgorde getrokken zijn een kans heeft van:

$\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^1\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^2\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^3\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^4.$

De kaarten kunnen echter ook in een andere volgorde getrokken zijn met dezelfde kans. Het aantal mogelijkheden is:

$\begin{matrix}{10! \over 1!2!3!4!}\end{matrix}$ .

De kans op de genoemde gebeurtenis is dus:

$\begin{matrix}{10! \over 1!2!3!4!}\end{matrix}\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^1\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^2\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^3\left(\begin{matrix}\frac 14\end{matrix}\right)^4.$

[bewerk] Definitie

Als een experiment k verschillende uitkomsten heeft, met kansen p₁, ..., p_k op deze uitkomsten (waarbij dus geldt dat p₁ + ... + p_k = 1) en X_i is het aantal keren dat de uitkomst i verkregen wordt in n onafhankelijke uitvoeringen van het experiment, dan wordt de kansverdeling van de vector $(X_1,\dots,X_k) \,$ gegeven door:

$P(X_1=x_1,\dots,X_k=x_k)={n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},$

waarin $(x_1,\dots,x_k) \,$ niet-negatieve gehele getallen zijn, met $x_1+\dots +X_k=n \,$ .

[bewerk] Voorbeeld

In een bepaald land heeft 30% van de inwoners bruin haar, 25% blond haar, en 45% een andere haarkleur. De kans dat bij trekking met terugleggen van zes willekeurig gekozen mensen er twee bruin, één blond en dus drie een andere haarkleur hebben wordt als volgt berekend.

De k = 3 verschillende uitkomsten zijn 1: "bruin", 2: "blond", 3: "anders", met bijbehorende kansen 0,3, 0,25, 0,45. De steekproefgrootte n=6.

$P(X_1=2,X_2=1,X_3=3)={6! \over 3! 2! 1!}0{,}3^2 0{,}25^1 0{,}45^3 = \frac{720}{6\cdot 2\cdot 1} 0{,}09 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}09 = 0{,}1215$

[bewerk] Momenten

Elk van de stochastische variabelen X_i is binomiaal verdeeld, zodat de verwachtingswaarde gelijk is aan:

$\operatorname{E}(X_i) = n p_i,$

en de variantie gegeven wordt door

$\operatorname{var}(X_i)=np_i(1-p_i).$

De covariantie tussen X_i en X_j is

$\operatorname{cov}(X_i,X_j)=-np_i p_j$

als i en j verschillend zijn.

[bewerk] Links met andere verdelingen

De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling.
Elk van de k afzonderlijke componenten heeft als marginale verdeling een binomiale verdeling met parameters n en p_i.

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal

Kansverdelingen

Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta

Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull

Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal