Мультиномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots, X_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

$\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k$ .

Интуитивно событие ${X i = j}$ означает, что испытание с номером $i$ привело к исходу $j$ . Пусть случайная величина $Y j$ равна количеству испытаний, приведших к исходу $j$ :

$Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k$ .

Тогда распределение вектора $\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}$ имеет функцию вероятности

$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_i = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0$ ,

где

${n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}$ — мультиномиальный коэффициент.

[править] Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины $Y j$ имеет вид: $\mathbb{E}[Y_j] = np_j$ . Диагональные элементы матрицы ковариации $Σ = (σ i j)$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

$\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k$ .

Для остальных элементов имеем

$\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j$ .

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен $k - 1$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное (Гаусса) \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное