Математическое ожидание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через $\mathbb{E}X$ , в русской $\operatorname{M}X$ . В статистике часто используют обозначение $μ$ .

Содержание

1 Определение
2 Основные формулы для математического ожидания
- 2.1 Математическое ожидание дискретного распределения
- 2.2 Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
3 Математическое ожидание случайного вектора
4 Математическое ожидание преобразования случайной величины
5 Простейшие свойства математического ожидания
6 Дополнительные свойства математического ожидания
7 Примеры
8 См. также

[править] Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и определённая на нём случайная величина $X$ . То есть, по определению, $X:\Omega \to \mathbb{R}$ — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от $X$ по пространству $Ω$ , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается $\operatorname{M} X$ .

$\operatorname{M} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).$

[править] Основные формулы для математического ожидания

Если $F X (x)$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

$\operatorname{M} X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x)$ .

[править] Математическое ожидание дискретного распределения

Если $X$ — дискретная случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1$ ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

$\operatorname{M} X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i$ .

[править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f X (x)$ , равно

$\operatorname{M}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx$ .

[править] Математическое ожидание случайного вектора

Пусть $X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - случайный вектор. Тогда по определению

$\operatorname{M}X = (\operatorname{M}X_1,\ldots,\operatorname{M}X_n)^{\top}$ ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

[править] Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ борелевская функция, такая что случайная величина $Y = g (X)$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$\operatorname{M}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i$ ,

если $X$ имеет дискретное распределение;

$\operatorname{M}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx$ ,

если $X$ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $\mathbb{P}^X$ случайной величины $X$ общего вида, то

$\operatorname{M}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx)$ .

В специальном случае, когда $g (X) = X k$ , Математическое ожидание $\operatorname{M}\left[g(X)\right] = \operatorname{M} X^k$ называется k-тым моментом случайной величины.

[править] Простейшие свойства математического ожидания

Математическое ожидание линейно, то есть
$\operatorname{M}[aX+bY] = a\operatorname{M}X + b \operatorname{M}Y$ ,
где $X, Y$ — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $a,b\in \mathbb{R}$ — произвольные константы;
Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если $0 \leq X \leq Y$ почти наверное, и $Y$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $X$ также конечно, и более того

$0 \leq \operatorname{M}X \leq \operatorname{M} Y$ ;
Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $X = Y$ почти наверное, то

$\operatorname{M}X = \operatorname{M}Y$ .
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $X, Y$ равно произведению их математических ожиданий

$\operatorname{M}[XY] = \operatorname{M}X \cdot \operatorname{M}Y$ .

[править] Дополнительные свойства математического ожидания

[править] Примеры

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.$ Тогда её математическое ожидание

$\operatorname{M}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $[a, b]$ , где $a < b$ . Тогда её плотность имеет вид $f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)$ и математическое ожидание равно