Atendata valoro

El Vikipedio

En teorio de probabloj la atendata valoro (aŭ matematika ekspekto) de hazarda variablo estas sumo de probabloj de ĉiuj eblaj rezultoj de la eksperimento multiplikitaj per respektivaj valoroj de la variablo. Tial, ĝi prezentas la averaĝa kvanton kiun oni "atendas" por havi de la ekperimentado se ĝi estas ripetita multfoje. Noto ke la valoro mem esti tute nr atendata en la ĝenerala senso; ĝi povas esti malverŝajna aŭ tute neebla. Ludo aŭ situacio en kiu la atendita valoro por la ludanto estas nulo (nek gajno) nek malgjno) estas nomita kiel "foira ludo".

Ekzemple, ĵetkubo povas doni egalprobable nombrojn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do probablo de ĉiu el ĉi tiuj nombroj estas 1/6. Do la atendata valoro estas

(1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 3.5 .

[redakti] Matematika difino

Ĝenerala, se $X\,$ estas hazarda variablo difinita sur probablospaco $(\Omega, P)\,$ , do la atendita valoro de $X\,$ (signifita kiel $\mathrm{E}(X)\,$ aŭ iam $\langle X \rangle$ aŭ $\mathbb{E}(X)$ ) estas difinita kiel

$\mathrm{E}(X) = \int_\Omega X\, dP$

kie la lebega integralo estas uzata. Noto ke) ne ĉiu hazarda variablo havas atenditan valoron, ĉar la integralo povas ne ekzisti (ekzemple por la koŝia distribuo). Du variabloj kun la sama probablodistribuo havas la saman atenditan valoron, se ĝi estas difinita.

Se $X$ estas diskreta hazarda variablo kun valoroj $x 1$ , $x 2$ , ... kaj respektivaj probabloj $p 1$ , $p 2$ , ... (kiuj sume estas 1) do $E(X)$ povas esti komputita kiel la sumo aŭ serio

$\mathrm{E}(X) = \sum_i p_i x_i\,$

kiel en la ekzemplo mencita pli supre.

Se la probablodistribuo de $X$ havas probablodensan funkcion $f (x)$ , tiam la atendita valoro povas esti komputita kiel

$\mathrm{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \mathrm d x.$

Se $X$ estas konstanta hazarda variablo $X = b$ por iu fiksta reela nombro $b$ , do la atendita valoro de $X$ estas ankaŭ $b$ .

La atendita valoro de ajna funkcio de x, g(x), kun respekto al la probablodensa funkcio f(x) estas donita per

$\mathrm{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \mathrm d x.$

[redakti] Propraĵoj

[redakti] Lineareco

La atendata valora operatoro (aŭ ekspekta operatoro) $E$ estas lineara en senco ke

$\mathrm{E}(a X + b Y) = a \mathrm{E}(X) + b \mathrm{E}(Y)\,$

por ĉiuj du hazardaj variabloj $X$ kaj $Y$ (kiuj devas esti difinitaj sur la sama probablospaco) kaj ĉiuj reelaj nombroj $a$ kaj $b$ .

[redakti] Ripetita ekspekto

Por ĉiuj du hazarda variablo $X, Y$ oni povas difini la kondiĉan ekspekton:

$\mathrm{E}[X|Y](y) = \mathrm{E}[X|Y=y] = \sum_x x \cdot \mathrm{P}(X=x|Y=y).$

Tiam la ekspekto de $X$

$\begin{matrix} \mathrm{E} \left( \mathrm{E}[X|Y] \right) & = & \sum_y \mathrm{E}[X|Y=y] \cdot \mathrm{P}(Y=y) \\ & = & \sum_y \left( \sum_x x \cdot \mathrm{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \mathrm{P}(Y=y) \\ & = & \sum_y \sum_x x \cdot \mathrm{P}(X=x|Y=y) \cdot \mathrm{P}(Y=y) \\ & = & \sum_y \sum_x x \cdot \mathrm{P}(Y=y|X=x) \cdot \mathrm{P}(X=x) \\ & = & \sum_x x \cdot \mathrm{P}(X=x) \cdot \left( \sum_y \mathrm{P}(Y=y|X=x) \right) \\ & = & \sum_x x \cdot \mathrm{P}(X=x) \\ & = & \mathrm{E}[X]. \end{matrix}$

De ĉi tie jena ekvacio sekvas:

$\mathrm{E}[X] = \mathrm{E} \left( \mathrm{E}[X|Y] \right).$

La dekstra flanko de ĉi tiu ekvacio estas referita al kiel la ripetita ekspekto. Ĉi tiu propozicio estas traktita en leĝo de tuteca ekspekto.

[redakti] Neegalaĵo

Se hazarda variablo X estas ĉiam malpli ol aŭ egala al alia hazarda variablo Y do la ekspekto de X estas malpli ol aŭ egala al tiu de Y:

Se $X \leq Y$ , tiam $\mathrm{E}[X] \leq \mathrm{E}[Y]$ .

Aparte, ĉar $X \leq |X|$ kaj $-X \leq |X|$ , la absoluta valoro de ekspekto de hazarda variablo estas malpli aŭ egala al la ekspekto de ĝia absoluta valoro:

$|\mathrm{E}[X]| \leq \mathrm{E}[|X|]$

[redakti] Prezento

Jena formulo veras por ĉiu nenegativa reelvalora hazarda variablo $X$ tia ke $\mathrm{E}[X] < \infty$ ) kaj pozitiva reela nombro $α$ :

$\mathrm{E}[X^\alpha] = \alpha \int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}\mathrm{P}(X>t) \mathrm d t.$

[redakti] Nemultiplikeco

Ĝenerale, la atendita valora operatoro estas ne multiplika, kio estas ke $E(X Y)$ ne estas bezone egala al $E(X)E(Y)$ , escepte se $X$ kaj $Y$ estas sendependaj aŭ nekorelaciigitaj. Ĉi tiu manko de multiplikeco igas studojn de kunvarianco kaj korelacio.

[redakti] Funkcia ne-invarianteco

Ĝenerale, la ekspekta operatoro kaj funkcioj de hazarda variablo ne [[Komuteco|komutecaj]; tio estas ke

$\mathrm{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \mathrm d P \neq g(\operatorname{E}X),$

[redakti] Vidu ankaŭ jenon:

Kondiĉa ekspekto
An neegalaĵo sur loko kaj krustaj parametroj.
Atendata nombro
Atendata valoro estas ankaŭ grava koncepto en ekonomiko.

Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto, ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn.

Kategorio: Teorio de probabloj

Kaŝita kategorio: Artikoloj kun komentitaj partoj

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.