Распределение вероятностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Содержание

1 Определение
2 Способы задания распределений

[править] Определение

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , и на нём определена случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ . В частности, по определению, $X$ является измеримым отображением измеримого пространства $(\Omega, \mathcal{F})$ в измеримое пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на $\mathbb{R}$ . Тогда случайная величина $X$ индуцирует вероятностную меру $\mathbb{P}^X$ на $\mathbb{R}$ следующим образом:

$\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X \in B),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$

Мера $\mathbb{P}^X$ называется распределением случайной величины $X$ .

[править] Способы задания распределений

Определение 2. Функция $F_X(x) = \mathbb{P}^X((-\infty,x]) = \mathbb{P}(X \leq x)$ называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины $X$ . Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения $F X (x)$ любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

$F X$ - функция неубывающая;
$\lim_{x\to -\infty} F_X(x) = 0,\; \lim_{x\to \infty}F_X(x) = 1$ ;
$F X$ непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида $\{(-\infty,x]\}_{x\in \mathbb{R}}$ , вытекает

Теорема 2. Любая функция $F (x)$ , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения $\mathbb{P}^X$ .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.

[править] Дискретные распределения

Определение 2. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть $X(\omega) = a_i,\; \forall \omega \in A_i$ , где $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ - разбиение $Ω$ .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задается: $\mathbb{P}^X(B) = \sum_{i:a_i \in B} P(A_i)$ . Введя обозначение $p_i = \mathbb{P}(A_i)$ , можно задать функцию $p (a i) = p i$ . Очевидно, что $\sum_{i=1}^{\infty}p_i = 1$ . Используя счётную аддитивность $\mathbb{P}$ , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение $X$ .

Определение 3. Функция $p (a i) = p i$ , где $\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1$ часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция $p$ задана таким образом, что $p(-1) = \frac{1}{2}$ и $p(1) = \frac{1}{2}$ . Эта функция задает распределение случайной величины $X$ такой, что $\mathbb{P}(X=\pm 1) = \frac{1}{2}$ .

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

$p_i \geq 0$ ;
∑ p_i = 1

i

.

[править] Непрерывные распределения

Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть смесь дискретного и непрерывного.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Определение 4. Распределение случайной величины $X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция $f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+$ , такая что $\mathbb{P}^X(B) \equiv \mathbb{P}(X\in B) = \int\limits_B f_X(x)\, dx$ . Функция $f X$ тогда называется плотностью распределения случайной величины $X$ .

Пример 2. Пусть $f (x) = 1$ , когда $0\leq x \leq 1$ , и $0$ иначе. Тогда $\mathbb{P}(a < X < b) = \int\limits_a^b 1\, dx = b-a$ , если $(a,b) \subset [0,1]$ .

Очевидно, что для любой плотности распределения $f X$ верно равенство $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1$ . Верна и обратная

Теорема 4. Если функция $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такая, что:

$f(x) \geq 0,\; \forall x \in \mathbb{R}$ ;
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1$ ,

то существует распределение $\mathbb{P}^X$ такое, что $f (x)$ является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если $f (x)$ - непрерывная плотность распределения, а $F (x)$ - его кумулятивная функция, то

$F'(x) = f(x),\; \forall x \in \mathbb{R},$
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, dt$ .

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное (Гаусса) \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное