Rozkład zmiennej losowej

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: Definicja we wstępie nie obejmuje przypadku mieszanego.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Rozkład zmiennej losowej – opis wartości przyjmowanych przez zmienną losową przy pomocy prawdopodobieństw (lub gęstości prawdopodobieństw) z jakimi one występują.

Jeśli mamy na myśli rzeczywiste prawdopodobieństwa wystąpienia danej wartości cechy w populacji, to mówimy o rozkładzie w populacji.
Jeśli mamy na myśli prawdopodobieństwa wystąpienia danej cechy wyznaczone podczas badania statystycznego, to mówimy o rozkładzie empirycznym.

[edytuj] Definicja

Rozkład zmiennej losowej $X$ (o wartościach rzeczywistych) to prawdopodobieństwo $P X$ określone na zbiorze borelowskich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych $R$ wzorem

P X (A) = P (X - 1 (A))

dla każdego podzbioru borelowskiego

A

zbioru

R

. Innymi słowy:

$P_X(A) = P(\{\omega\in\Omega : X(\omega)\in A\})$ .

$P$ oznacza tutaj prawdopodobieństwo na przestrzeni probabilistycznej $Ω$ , na której określona jest zmienna $X$ .

W skrócie zamiast

$P(\{\omega\in\Omega : X(\omega)\in A\})$

pisze się

$P(X\in A)$

[edytuj] Przypadek dyskretny

Jeżeli zmienna losowa X jest dyskretna, to jej rozkład jest w pełni określony przez liczby:

$p_i = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x_i\})$ ,

gdzie {x_i} jest zbiorem wszystkich wartości jakie przyjmuje zmienna X. Każda z liczb p_i jest nieujemna oraz ∑ p_i = 1. W tej sytuacji rozkładem zmiennej często nazywa się ciąg tych par (x_i, p_i), dla których p_i > 0.

[edytuj] Przykład 1

Niech $Ω = {0,1}$ , $P (0) = 0,5$ i $P (1) = 0,5$ . Jeżeli zmienna $X$ na $Ω$ określona jest równościami: $X (0) = 1$ i $X (1) = - 1$ , to jej rozkład $P X$ jest funkcją określoną następująco:

$P X (A) = 0$ jeśli $A$ nie zawiera -1 i nie zawiera 1,
$P X (A) = 0,5$ jeśli $A$ zawiera dokładnie jedną z liczb 1.-1,
$P X (A) = 1$ jeśli $A$ zawiera 1 oraz -1.

Niech $\Omega^\prime = \{0, 1, 2\}$ , $P (0) = 0,5$ ; $P (1) = 0$ i $P (2) = 0,5$ , a zmienna $Y$ na $\Omega^\prime$ będzie określona równościami: $Y (0) = 1$ , $Y (1) = 7$ i $Y (2) = - 1$ . Rozkład $P Y$ zmiennej $Y$ jest taki sam jak rozkład zmiennej $X$ , mimo że są to różne zmienne..

[edytuj] Przykład 2

Niech X oznacza zmienną losową, która przyjmuje wartość 1 jeśli w pojedynczym rzucie monetą wypadł orzeł i −1 jeśli wypadła reszka. Rozkład zmiennej X jest taki sam jak obu zmiennych z poprzedniego przykładu.

[edytuj] Dystrybuanta rozkładu

Badanie rozkładu można uprościć, jeżeli rozważy się dystrybuantę $F X$ zmiennej losowej. Na przykład, dystrybuanta zmiennej z przykładu 2 to funkcja $F_X : R \rarr [0,1]$ określona tak:

$F X (x) = 0$ dla $x < - 1$
$F X (x) = 0,5$ dla $-1 \le x < 1$
$F X (x) = 1$ dla $x \ge 1$

Korzystając z dystrybuanty, możemy obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń postaci $P(\{\omega \in \Omega : a < X(\omega) \le b\}) = F_X(b) - F_X(a)$ . Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład zmiennej losowej – dwie zmienne mające taką samą dystrybuantę mają ten sam rozkład.

[edytuj] Funkcja gęstości rozkładu

Jeżeli istnieje funkcja $f$ taka, że $F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$ , to zmienną $X$ nazywamy zmienną typu ciągłego. Mamy wtedy:

$P(a < X< b) = \int\limits_a^b f(t) dt$ .

Funkcję $f$ nazywamy funkcją gęstości rozkładu zmiennej $X$ .

[edytuj] Skośność rozkładu

Jeśli funkcja gęstości rozkładu po prawej stronie swojego maksimum (mody) maleje wolniej niż po lewej stronie (rozkład ma "prawy ogon dłuższy"), to rozkład nazywamy prawostronnie skośnym, dodatnio skośnym, prawostronnie asymetrycznym lub o prawostronnej asymetrii. Rozkład taki ma wartość oczekiwaną (średnią) większą od mediany.

Analogicznie definiuje się rozkład lewostronnie skośny. Rozkład symetryczny nie jest ani lewostronnie ani prawostronnie skośny.