F-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee chi-kwadraat verdeelde grootheden. Hij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met m vrijheidsgraden in de teller en n vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van:

$F=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}$ ,

waarin $\chi_m^2$ en $\chi_n^2$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, die beide chi-kwadraat verdeeld zijn met respectievelijk m en n vrijheidsgraden.

Als $S_1^2$ en $S_2^2$ respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste m en de laatste n van m+n onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen $Z_1, \dots , Z_{m+n}$ , dan heeft de grootheid

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$

een F-verdeling met $m - 1$ en $n - 1$ vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraat verdeeld is.

[bewerk] Kansdichtheid

De formule van de kansdichtheid $f m, n$ wordt voor $x > 0$ gegeven door:

$f_{m,n}(x)= \frac{ \Gamma(\frac{m+n}{2}) } { \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) } \frac{ (\frac{m}{n})^{m/2}(\frac{m}{n}x)^{m/2-1} } {(1+\frac{m}{n}x)^{(m+n)/2}}$

De verwachtingswaarde is $\frac{n}{n-2}$ , deze bestaat dus voor $n > 2$ . De variantie is $2(\frac{n}{n-2})^2\frac{m+n-2}{m(n-4)}$ , deze bestaat voor $n > 4$ .

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal

Kansverdelingen

Discrete verdelingen: Bernoulli · Binomiaal · Geometrisch · Hypergeometrisch · Negatief-binomiaal · Poisson · Uniform · Zeta

Continue verdelingen: Beta · Chi-kwadraat · Exponentieel · F-verdeling · Gamma · Lognormaal · Normaal · Pareto · Student-t · Uniform · Weibull

Meerdimensionale verdelingen: Multinomiaal · Multivariaat normaal