シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

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シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年 12月22日 - 1920年 4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。

[編集] 人生

ラマヌジャンは南インドのクンバコナムの極貧のバラモン階級の家庭に生まれ、幼少の頃より母親から徹底的にヒンドゥー教の宗教教育を受けた。幼い頃から学業は非常に優秀で、数学にも強い関心を寄せていた。15歳のときに『純粋数学要覧』という数学公式集に出会ったことが彼の方向性を決めた。奨学金を得て大学に入学したが、数学に没頭するあまり授業に出席しなくなり、奨学金を打ち切られて退学に追い込まれた。しばらく独学で数学の研究を続けていた。やがて、港湾事務所の事務員として就職したが、上司の理解に恵まれて、仕事はさっさと終えて、職場で専ら数学の研究に没頭していた。

その後、周囲の勧めもあって、1913年、イギリスのヒル教授、ベイカー教授、ボブソン教授に研究成果を記した手紙を出したが黙殺された。もっとも、藤原正彦によれば、こうした無理解も仕方がない事であった。というのも「著名数学者はしばしば、大問題を解決したという数学マニアからの、ナンセンスな「論文」や手紙に悩まされ」ており、「私(＝藤原)程度の人物にも年に１、２通は(そうした手紙が)届けられる」からである。^[1]

しかしケンブリッジ大学のG.H.ハーディだけはラマヌジャンの手紙を読んでくれたので事無きを得た。ハーディも最初は「狂人のたわごと」程度にしかとらなかったが、そのうち内容に驚愕した。というのもラマヌジャンの成果にはたしかに間違っているものや既知のものもあるが、中には「この分野の権威である自分でも真偽を判定できない」ものもあるし、自分の未発表の成果と同じものすらも含まれていたからである。^[2]

こうしてハーディはラマヌジャンをケンブリッジ大学に招聘した（渡英は1914年）。しかしイギリスでの生活に馴染むことができず^[3]、やがて病気になって^[4]インドに帰国。1920年に病死した。

渡英後に発表した四十編の論文の他には、渡英前までの数学的発見を記したノート三冊、帰国後に記された「失われたノートブック」が残っている。大学で系統的な数学教育を受けなかったため、彼は「証明」の概念をもっていなかったようで、得た「定理」に関して彼なりの理由づけで納得した（寝ている間にナマギーリ女神が教えてくれた、など）。共同研究を行なっていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半ダースもの「定理」を一日かけて改めて証明するという方法をとった。明確な証明をつけなかったことで、ラマヌジャンの業績は理解されにくいものとなった^[5]。

渡英前のノートに記された公式群は、すでに知られていたものも多かったが、連分数や代数的級数などに関して新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの保型形式、それに関連したラマヌジャン予想は重要な未解決問題（1974年にドリーニュが解決）であった。その他、ロジャース・ラマヌジャン恒等式の再発見や確率論的整数論を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記されたMock theta function（擬テータ関数）の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している^[要出典]:

（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。...

また、ハーディは数学者を１から１００までの点数でランクづけをするのが好きだった。それによると、ハーディ自身は２５点、リトルウッドが３０点、偉大なるダフィット・ヒルベルトが８０点、そしてラマヌジャンが１００点だった。ハーディは謙遜して自分をわずか２５点にしか評価していないが、ラマヌジャンに１００点を与えたのは、かれの業績に対してハーディが抱いていた尊敬の度合いを表している。

現在ラマヌジャンの遺産は概ね証明を得られたものの、何故ラマヌジャンがそのような着想に至ったのかについては未だに謎が多く、そこには未知の数学的鉱脈が眠っている可能性がある。

[編集] ラマヌジャンのτ関数

ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。

$\Delta = x \prod^{\infin}_{n=1} (1-x^n)^{24} = \sum^{\infin}_{n=1} \tau(n)x^n$

彼は x のべきの係数 $τ(n)$ が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから

$\sum^{\infin}_{n=1} \tau(n)n^{-s}$

を考えて、そのオイラー積表示

$\prod_p \frac{1}{1-\tau(p)p^{-s}+p^{11-2s}}$

を与えた（正確には、「証明」していないが）。このオイラー積には p^-2s という p^-s の二次の因子が現われており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「二次のゼータ」の発見）。

[編集] 1729は特徴のない数?

ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つとして次のものがある。

1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディーは次のようなことを言った。

「乗ってきたタクシーのナンバーが1729だった。特に特徴のない、つまらない数字だったよ」

これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。

「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

これは、1729が次のように表せるということである。

1729 = 12 3 + 1 3 = 10 3 + 9 3 .

これは、ラマヌジャンがあらゆる数に興味を持ち、数に対する探究心が高かったことを表す逸話である。ラマヌジャンの計算能力が高かったというような意味合いで語られることがあるが、実際は、様々な研究をしていたラマヌジャンは以前からこれを知っていて、それを思い出したのであろう。このようなことから、リトルウッドは次のように述べたと言われる。「全ての自然数はラマヌジャンの個人的な友人だ」。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数と呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると、特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。

ちなみにこの逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。ラマヌジャンのこの直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何ケタも大きい数である。

635318657 = 134 4 + 133 4 = 158 4 + 59 4 .

補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含めれば、91が最小（絶対値が最小）である。

91 = 6 3 + ( - 5) 3 = 4 3 + 3 3 .

[編集] 円周率の公式

ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数と呼ばれる考えを元に、次の円周率の公式を発見した。

$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}$

$\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}$

これらの公式は、収束が非常に早いものとして知られている。1985年に、ウィリアム・ゴスパー（William Gosper）は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただし、ラマヌジャンは証明を残していなかったため、ゴスパーは本当に円周率を計算しているのかどうか不確かな状態で計算を行った。計算結果は、それ以前に計算されていた円周率の値と一致し、式が正しいという一種の「証明」を与えた。これらの式は、その後、証明されている。

また、次のような円周率に関する近似式も発見している。

$\pi\simeq \sqrt[4]{\frac{2143}{22}}=3.1415926525\cdots$

$\pi\simeq \frac{63\left(17+15\sqrt5\right)}{25\left(7+15\sqrt5\right)}=3.1415926538\cdots$

$\frac{1}{2\pi\sqrt2}\simeq \frac{1103}{99^2}\qquad\Longleftrightarrow \qquad\pi\simeq 3.1415927\cdots$

[編集] 著作

Ramanujan's Notebooks
The lost notebook and other unpublished papers
Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

[編集] 参考文献

ロバート・カニーゲル　『無限の天才―夭逝の数学者・ラマヌジャン』　田中靖夫訳、工作舎、1994年。ISBN 4875022395
ブルース・バーント、ロバート・ランキン編　『ラマヌジャン書簡集』　細川尋史訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年。ISBN 4431707778

[編集] 脚注

^ 『天才の栄光と挫折―数学者列伝』、p162。
^ 『天才の栄光と挫折―数学者列伝』、p163。
^ ラマヌジャンは敬虔なヒンドゥー教徒であり、厳格な菜食主義者であった。第一次世界大戦下のイギリスはドイツによる通商破壊もあり、そのような食材は確保が困難で身体的に衰弱した。
^ 結核か、または近年の研究ではアメーバ性肝炎と言われる。D. A. B. YOUNG, Ramanujan’s illness, Current Sci. 67, no. 12 (1994), 967–972
^ 26歳までに発見した定理の証明はその後、多くの数学者の協力で証明が行われたが。その作業が完成したのは1997年である。

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

Srinivasa Aiyangar Ramanujan MacTutor History of Mathematics archive.（英語）

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