Teoria del caos

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Fumo di un fiammifero acceso

La teoria del caos è un settore della teoria matematica dei sistemi dinamici che si occupa dei cosiddetti sistemi caotici.

Indice

1 Teoria
2 Applicazioni
- 2.1 Applicazione nella finanza
3 La teoria del caos nei media e nella fiction
4 Bibliografia
5 Voci correlate
6 Altri progetti
7 Collegamenti esterni

[modifica] Teoria

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
Imprevedibilità, cioè non si può prevedere l'andamento del sistema in anticipo.
Le orbite nello spazio delle fasi restano confinate, cioè il sistema non evolve verso l'infinito per nessuna variabile. Si parla in questo caso di Attrattori

Ad esempio la mappa lineare:

$x_{(n+1)}=2x_{n}\,$

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di $x$ leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza) ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero sufficientemente alto di passaggi $x n$ diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento caotico.

Mentre la mappa non lineare:

$x_{(n+1)}=3,7x_{n}(1-x_{n})\,$

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di $x$ iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione puo' ai piu' non suggerire nulla ma si tratta di una mappa logistica, la quale puo' spiegare matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo, ed è chiaro che questa non puo' divergere all'infinito... (il mondo per quanto è grande non puo' ospitare infiniti individui).

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza). Così pure il sistema caotico del "gatto di Arnold" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

Un sistema caotico autonomo è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile di stato.

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia, climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Sistemi discreti
- mappa logistica
- attrattore di Hènon
Sistemi continui
- doppio pendolo
- attrattore di Lorenz, attrattore di Rössler

[modifica] Applicazioni

La teoria del caos si applica in molte discipline scientifiche: matematica, fisica, biologia, dinamica di popolazione, informatica, ingegneria, economia, finanza, filosofia, politica, psicologia, e robotica.^[1]

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'epilessia, specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.^[2]

[modifica] Applicazione nella finanza

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La teoria del caos è stata anche utilizzata nelle critiche al Capital asset pricing model (CAPM). Il CAPM basa i suoi principi sul modello del mercato efficiente (IME), mentre la Teoria del caos contesta i principi di questo modello e la figura dell'investitore razionale, e soprattutto che il prezzo di un titolo sconti immediatamente tutte le informazioni che pervengono dal titolo stesso.

Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'indice beta, per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore h che distingue una serie causale da una normale. Se ha valore uguale a 0.5 è causale, se maggiore sarà di tipo non normale.

[modifica] La teoria del caos nei media e nella fiction

Il termine "Teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'"effetto farfalla". Nella grande maggioranza dei lavori seguenti (ma non in tutti) la teoria del caos è rappresentata soprattutto come negazione del determinismo e/o in relazione all'effetto farfalla. Questo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di Ray Bradbury, "Rumore di tuono", pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori".

Nella lista si citano opere che fanno riferimento alla teoria del caos e affini.

[modifica] Film

Il film del 1990: Hardware
Il film del 1993: Jurassic Park
Il film del 1998: Π - Il teorema del delirio
Il film del 1998: Lola Corre
Il film del 1998: Sliding Doors
Il film del 2004: The Butterfly Effect
Il film del 2005: Match Point
Il film del 2005: A Sound of Thunder
Il film del 2006: L'arte del sogno
Il film del 2006: The Butterfly Effect 2
Il film del 2007: Chaos
Il film del 2008: The Oxford Murders - Teorema di un delitto"

[modifica] Libri

Michael Crichton: Jurassic Park e The Lost World

[modifica] Teatro

Tom Stoppard: "Arcadia" (un resoconto fittizio delle prime ricerche e di quelle contemporanee; vedi anche termodinamica e determinismo).

[modifica] Fumetti

Ade Capone, Marco Abate, Stefano Natali: "Il Lemma di Levemberg", nella serie "Lazarus Ledd" (giugno 1996). Il soggetto della storia è al tempo stesso un plot d'azione e un teorema di matematica.
xxxHolic, Tsubasa Chronicle, le serie parlano di avventure in mondi paralleli. La maga che permette cio ha come simbolo una farfalla.

[modifica] Bibliografia

Badii R., Politi A., Complexity: hierarchical structures and scaling physics, Cambridge University Press, 1997
Bergé P., Pomeau Y., Vidal C., L'ordre dans le chaos : vers une approche déterministe de la turbulence, Herrmann, 1984
Bertuglia C. S., Vaio F., Non linearità, caos, complessità, Torino, Bollati Boringhieri, 2003
Bischi G. I., Carini R., Gardini L., Tenti P., Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici, Mondadori, 2004
Coli M., Ercolani A., Falco G. Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos. Ingegneria 2000, 2001 ISBN 888665814-1
De Toni A. F., Comello L., Prede o ragni, Torino, Utet Libreria, 2005
De Toni A. F., Comello L., Viaggio nella complessità, Venezia, Marsilio Editori, 2007
Ekeland Ivar, Il Caos. Milano, il Saggiatore, 1997
Gleick James : Caos. La nascita di una nuova scienza,BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000
Hao Bai-Lin, Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984)), World Scientific Publishing Co., 1990
Ott Edward, Chaos in Dynamical systems, Cambridge University Press, 1993
Schuster Heinz Georg and Just Wolfram Deterministic Chaos. An Introduction, Wiley-VCH, Berlin, 2005 ISBN-10: 3-527-40415-5
Vulpiani Angelo, Determinismo e Caos, Roma, La Nuova Italia Scientifica, 1994