Sistema di numerazione romano

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Sistemi di numerazione

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Numeri indiani
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Numeri romani
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Con il termine numeri romani si intende il sistema di numerazione che fu introdotto nell'antica Roma.

[modifica] Introduzione

Il sistema di numerazione romano è un "sistema di numerazione additivo", ovvero ad ogni simbolo è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli (che assomigliano a delle lettere e che pertanto possono essere definiti "simboli letterari").

In verità il sistema come viene presentato in questa sezione non è quello utilizzato nell'antica Roma, ma è la sua modifica effettuata nel Medioevo quando si accorsero che l'originale risultava troppo lungo per descrivere alcuni numeri. Difatti il sistema originale era "additivo" nel vero senso della parola, cioè i valori dei simboli venivano sempre addizionati, mai "sottratti". Era accettata cioè la ripetizione di un simbolo anche per quattro volte. Quindi ad esempio il numero nove si scriveva VIIII.

[modifica] Simboli

I numeri romani sono stringhe, cioè sequenze, costituite dai simboli dati dalla seguente tabella accanto ai corrispondenti valori.

$I$ = 1
$V$ = 5
$X$ = 10
$L$ = 50
$C$ = 100
$D$ = 500
$M$ = 1000

Soprallineando una lettera il suo valore originale viene moltiplicato per 1000.

$\rm{\overline{V}}$ = 5.000
$\rm{\overline{X}}$ = 10.000
$\rm{\overline{L}}$ = 50.000
$\rm{\overline{C}}$ = 100.000

Bordando una lettera con due linee verticali ai fianchi ed una linea orizzontale soprastante, il suo valore originale viene moltiplicato per 100.000. Gli antichi romani, infatti, non avevano né i "milioni" né i "miliardi" e la loro massima espressione numerica erano le "centinaia di migliaia". Ad esempio per indicare il numero "un milione" essi dicevano "dieci centinaia di migliaia".

$\rm{\vline\overline{V}\vline}$ = 500.000
$\rm{\vline\overline{X}\vline}$ = 1.000.000
$\rm{\vline\overline{L}\vline}$ = 5.000.000
$\rm{\vline\overline{C}\vline}$ = 10.000.000
$\rm{\vline\overline{D}\vline}$ = 50.000.000
$\rm{\vline\overline{M}\vline}$ = 100.000.000

[modifica] Regole

Per ottenere gli altri interi esprimibili bisogna combinare tra loro, cioè giustapporre, questi simboli in modo da ottenere stringhe che rispettano le regole seguenti.

All'interno di un numero romano i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti, di norma, al massimo tre volte, mentre i simboli V, L e D non possono essere mai ripetuti più di una volta. Esistono, però, anche le forme con quattro simboli.
Una sequenza (ovvero una stringa) di simboli che non presenta mai valori crescenti denota l'intero ottenuto sommando i valori dei simboli indicati (principio di sommazione per giustapposizione); esempi II = 2, XI = 11, XVIII = 18, CXV = 115, DLII = 552, MMVII = 2007.
Quando si incontra un simbolo seguito da un secondo simbolo di valore maggiore si ha come risultato la differenza tra i due (principio di differenza); esempi: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, VC= 95, IC = 99, CD = 400, CM = 900, LM = 950.
Sono accettabili anche stringhe formate da coppie del tipo precedente e simboli, purché si passi da una coppia a una coppia di valore inferiore, da un simbolo a una coppia di simboli entrambi inferiori e da una coppia a un simbolo inferiore di entrambi i membri della coppia.
Solo I X e C possono essere usati in senso sottrattivo.

Queste regole fanno sì che certi numeri si possano esprimere in più di un modo: per questi casi è preferibile la scrittura più concisa.

Si individuano quindi i seguenti insiemi di numeri successivi

(a)
- 1 = I
- 2 = II
- 3 = III
- 4 = IV
- 5 = V
- 6 = VI
- 7 = VII
- 8 = VIII
- 9 = IX

(a09): (a) come stringa muta, cioè una stringa che giustapposta ad un'altra la lascia invariata.

(a08): (a09) privato di IX.

(b) comprende X e le stringhe ottenute facendo seguire a X una stringa dell'insieme (a), ovvero le stringhe ottenute giustapponendo X e una stringa di (a09):
- 10 = X
- 11 = XI
- 12 = XII
- 13 = XIII
- 14 = XIV
- 15 = XV
- 16 = XVI
- 17 = XVII
- 18 = XVIII
- 19 = XIX

(d) numeri tra 30 e 39: giustapposizioni di X e una stringa di (c)

(e) numeri tra 40 e 49: giustapposizioni di XL e una stringa di (a08) che consentono di arrivare fino a 48, IL per il numero 49; gli interi da 45 a 48 si possono indicare anche rispettivamente con VL, VLI, VLII, VLIII.

(f) numeri tra 50 e 59: giustapposizioni di L e una stringa di (a09).

(g) numeri tra 60 e 89: giustapposizioni di L e una stringa di (b), (c) o (d)

(h) numeri tra 90 e 99: giustapposizioni di XC con una stringa di (a08) che consentono di arrivare fino a 98, IC per il numero 99; gli interi da 95 a 98 si possono indicare anche rispettivamente con VC, VCI, VCII, VCIII.

(i) numeri tra 100 e 199: giustapposizioni di C e una stringa di (a09), (b), (c), (d), (e), (f), (g) o (h).

(l) numeri tra 200 e 299: giustapposizioni di C e una stringa di (i)

(m) numeri tra 300 e 399: giustapposizioni di C e una stringa di (l)

(n) numeri tra 400 e 499: giustapposizioni di CD e una stringa di (a09), (b), (c), (d), (e), (f), (g) o (h); interi quali 450, 490, 495 e 499 ammettono le varianti LD, XD, VD e ID.

(o) numeri tra 500 e 599: giustapposizioni di D e una stringa di (a09), (b), (c), (d), (e), (f), (g) o (h).

(p) numeri tra 600 e 899: giustapposizioni di D e una stringa di (i), (l) o (m).

(s) numeri tra 900 e 999: giustapposizioni di CM e una stringa di (a09), (b), (c), (d), (e), (f), (g) o (h); interi quali 950, 990, 995 e 999 ammettono le varianti LM, XM, VM e IM.

(t) numeri tra 1000 e 1999: giustapposizioni di M con una stringa di (a09), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (l), (m), (n), (o), (p) e (s).

(u) numeri tra 2000 e 2999: giustapposizioni di M con una stringa di (t).

(v) numeri tra 3000 e 3999: giustapposizioni di M con una stringa di (u).

Questi numeri attualmente sono utilizzati per indicare gli ordinali di entità che fanno parte di sequenze con qualche decina di componenti (pagine, secoli, mesi, ore, regnanti, papi, membri di altre dinastie, ...). Essi sono inoltre utilizzati per indicare anni, soprattutto nelle epigrafi.

A volte, in alcuni orologi che indicano le ore con numeri romani, il numero indicante le ore 4 è riportato graficamente con il segno IIII anziché IV, seguendo quindi la grafia della Roma antica e non quella medioevale, tuttora utilizzata.

In certe iscrizioni di date nei palazzi d'epoca è talora riscontrabile la scrittura del numero D (500) per mezzo di I seguito da C in versione specchiata ( Ɔ ). Analogamente, M (1000) è formata a volte da C ed I, seguiti da una C specchiata, simile alla M della scrittura onciale ( CIƆ ). Ciò è dovuto al fatto che originariamente i numeri romani erano così costruiti, come si può vedere analizzando la grafia dei numeri stessi:
- I = 1
- X = 10
- C = 100
- M = 1000 disegnata come CIƆ
- V = 5 è la metà di una X tagliata trasversalmente
- L = 50 è la metà di una C tagliata trasversalmente
- D = 500 disegnata anche come IƆ, è praticamente il 1000 di cui sopra tagliato a metà in senso longitudinale

[modifica] Operazioni con i numeri romani

I numeri romani possono essere considerati scritture eleganti, ma sono sostanzialmente inutilizzabili per i calcoli. Il calcolo vero e proprio veniva svolto da uno strumento esteriore come l'abaco. Ad ogni modo è probabile che il principio sottrattivo abbia facilitato l'invenzione dell'algebra ed anche quella della cronometria (es. "le cinque meno un quarto").

[modifica] Tavola di conversione

  arabi   romani        numero cardinale      numero ordinale
     1      I         unus una unum         primus prima primum
     2      II        duo duae duo          secundus secunda secundum
     3      III       tres tria             tertius
     4      IV        quattuor              quartus
     5      V         quinque               quintus
     6      VI        sex                   sextus
     7      VII       septem                septimus
     8      VIII      octo                  octavus
     9      IX        novem                 nonus
    10      X         decem                 decimus
    11      XI        undecim               undecimus
    11      O (raro)  undecim               (O rarum scriptum)
    12      XII       duodecim              duodecimus
    13      XIII      tredecim              tertius decimus
    14      XIV       quattuordecim         quartus decimus
    15      XV        quindecim             quintus decimus
    16      XVI       sedecim               sextus decimus
    17      XVII      septendecim           septimus decimus
    18      XVIII     duodeviginti          duodevicesimus
    19      XIX       undeviginti           undevicesimus
    20      XX        viginti               vicesimus
    21      XXI       unus et viginti       unus et vicesimus
                      viginti unus          vicesimus primus
    22      XXII      duo et viginti        alter et vicesimus
                      viginti duo           vicesimus alter
    30      XXX       triginta              tricesimus
    40      XL        quadraginta           quadragesimus
    40      F (raro)  quadraginta           (F rarum scriptum)
    50      L         quinquaginta          quinquagesimus
    50      K (raro)  quinquaginta          (K rarum scriptum)
    60      LX        sexaginta             sexagesimus
    70      LXX       septuaginta           septuagesimus
    70      S (raro)  septuaginta           (S rarum scriptum)
    80      LXXX      octoginta             octogesimus
    80      R (raro)  octoginta             (R rarum scriptum)
    90      XC        nonaginta             nonagesimus
    90      N (raro)  nonaginta             (N rarum scriptum)
   100      C         centum                centesimus
   150      CL        centum quinquaginta
   150      Y (raro)  centum quinquaginta   (Y rarum scriptum)
   160      CLX       centum sexaginta
   160      T (raro)  centum sexaginta      (T rarum scriptum)
   200      CC        ducenti               ducentesimus
   200      H (raro)  ducenti               (H rarum scriptum)
   250      CCL
   250      E (raro)                        (E rarum scriptum)
   300      CCC       trecenti              trecentesimus
   300      B (raro)  trecenti              (B rarum scriptum)
   400      CD        quadringenti          quadringentesimus
   400      G o P (rari)                    (G vel P rara scripta)
   500      D         quingenti             quingentesimus
   500      A o Q (rari)                    (A vel Q rara scripta)
   600      DC        sescenti              sescentesimus
   700      DCC       septingenti           septingentesimus
   800      DCCC      octingenti            octingentesimus
   900      CM        nongenti              nongentesimus
  1000      M         mille                 millesimus
  2000      MM        duo milia             bis millesimus
  2000      Z (raro)                        (Z rarum scriptum)
  3000      MMM       tres milia            ter millesimus    ter millies
  4000      MMMM      quatres milla         quater millessimus
 
 10000                deciens mille, decies milia
100000                centiens mille, centum milia

1000000 milliens mille, decies centena milia

[modifica] Esempi

33 = XXXIII
1972 = MCMLXXII
1989 = MCMLXXXIX
1999 = MCMXCIX o MIM
2007 = MMVII o ZVII
1992 = MCMXCII
03/12/1990 = III XII MCMXC
30/08/1989 = XXX VIII MCMLXXXIX

[modifica] Origini

I numeri romani ebbero origine dall'intaglio di tacche successive su legno o altri materiali per incisione. L'I è chiaramente una tacca, mentre V rappresenta probabilmente una mano aperta e X due mani aperte speculari. In realtà non erano segni per fare operazioni ma semplici abbreviazioni per esprimere e ricordare numeri.

L'intaglio doveva affrontare il problema della percepibilità diretta a colpo d'occhio dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Chiunque avesse contato avrebbe infatti riscontrato difficoltà percettive dopo la quarta tacca e sarebbe stato costretto a ricontare astrattamente. Modificando l'aspetto della tacca per ogni multiplo di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche, si tiene più facilmente la situazione sotto controllo:

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX...

oppure

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX...

All'inizio il quinto trattino per essere differenziato veniva inclinato: IIII\
oppure si aggiungeva un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ < > Y у  ecc.

Dopo altri 4 segni, comparirà un nuovo segno (graficamente equivalente a due 5 sovrapposti e speculari). Dopo altri 4 segni, altro V facilmente individuabile rispetto al primo V perché successivo al simbolo X, e così via. In questo modo con uno sguardo chi conta discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno. Nella tecnica primitiva di computo per intaglio, "39 manzi" era così descritto:

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIII
    5    10   15   20   25   30   35  39

Tale notazione cardinale era molto scomoda perché, sebbene non ci costringa ad alcuna memorizzazione, ci espone fortemente alla confusione percettiva. Dunque si passò alla notazione ordinale, dove il numero è in sé una totalità che riassume in sé i momenti che l'hanno costituita, ha dunque in sé la memoria della sua autocostituzione.

Il fatto che la numerazione greco-latina sia derivata dalle tecniche della numerazione per intaglio è indirettamente provato dal fatto che popoli più primitivi dei Romani, quali i Dalmati, i Tirolesi od i popoli Germano-Scandinavi), siano pervenuti autonomamente ai principi della numerazione latina (es. il principio sottrattivo era presente pure presso gli Etruschi).

Anche dal punto di vista linguistico, in latino computo/conto è ratio. Ratio vuol dire rapporto, comparazione come ad es. tra pecore e sassi. Pensare è rationem putare. Dove Putare significa fare una tacca, tagliare. Rationem putare è dunque istituire un rapporto con una cosa facendo una tacca sul legno.

Le notazioni numeriche romano-medievali invece erano più complicate e compromettevano l'effetto originario di economia dei simboli, tipico del principio additivo. Il sistema infatti, ricorrendo a più principi come quello sottrattivo, a più basi, più convenzioni, perse di coesione e finì per precludersi molte possibilità operative, risultando essere alla fine una regressione.

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[modifica] Curiosità

Sulle tombe dei defunti dell'antica Roma era comune la scritta "VIXI" (sono vissuto): durante il Medioevo le popolazioni Italiane che avevano abbandonato il latino in favore dei dialetti e che attraversavano un periodo storico caratterizzato da analfabetismo, confusero tale iscrizione con il numero 17 (XVII). È così giunta fino ai nostri giorni la credenza superstiziosa per cui il numero 17 è un simbolo di sventura.