Funzioni di Bessel

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Funzione di Bessel J (blu),Y (rosso) ,I (verde) ,K (viola) con n da 1 a 5

Le funzioni di Bessel, definite per la prima volta del matematico svizzero Daniel Bernoulli e successivamente rinominate da Friedrich Bessel, sono le soluzioni canoniche y(z) delle equazioni differenziali di Bessel:

$z^2 \frac{d^2 y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} + (z^2 - \alpha^2)y = 0$

per un numero arbitrario α (che rappresenta l'ordine della funzione). Il più comune e importante caso particolare è quello in cui α è un numero intero n. Si può notare (per la parità della funzione in α) che α e −α hanno la stessa soluzione, per cui si usa definire convenzionalmente due differenti Funzioni di Bessel per questi due ordini.

Sono anche parte delle soluzioni dell'equazione differenziale di Riccati.

Indice

1 Equazione di Bessel
2 Definizioni
3 Funzioni di Bessel di primo e secondo tipo
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

[modifica] Equazione di Bessel

La Funzione di Bessel si può facilmente ricavare dalla forma di Whittaker dell'equazione ipergeometrica confluente nel caso particolare in cui k sia posto pari a 0. Avremmo così c=2a e la forma di Whittaker sarà :

$z^2 \frac{d^2 v}{dz^2} -\left [ \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4} - \alpha^2}{z^2}\right] v = 0$

facendo quindi la sostituzione : z $\rightarrow$ 2iz si ottiene l'equazione differenziale

$z^2 \frac{d^2 y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} + (z^2 - \alpha^2)y = 0$

da cui, le sue soluzioni sono, per costruzione legate alle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente dalla relazione :

$y_\alpha(z) \,=\, z^\alpha e^{-iz} u (\alpha+1/2, 2\alpha+1;2iz)$

con u generica soluzione della ipergeometrica confluente in cui si ha $a=\frac{c}{2}=\alpha + \frac{1}{2}$

Si noti che nel caso particolare in cui sia $\alpha =\pm \frac{1}{2}$ la l'equazione di Bessel è di soluzione immediata e dà:

$y(2iz) = \left\{\begin{matrix}\frac{\sin z}{\sqrt {z}} \\ \frac{\cos z}{\sqrt{z}}\end{matrix}\right.$

da questo si può subito intuire che almeno certe soluzioni dell'equazione di Bessel avranno andamento oscillante.

[modifica] Definizioni

Poiché le funzioni di Bessel sono le soluzioni dell'equazione di Bessel che è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, ci devono essere almeno due soluzioni linearmente indipendenti. Nei vari casi può essere conveniente esprimerle in varie varianti che andremo a descrivere ora.

[modifica] Funzioni di Bessel di primo e secondo tipo

Queste sono le forme più comunemente usate delle Funzioni di Bessel.

Funzioni di Bessel del primo tipo, J_α(z), sono soluzioni della equazione differenziale di Bessel che sono finite in z=0 per α non-negativo
Funzioni di Bessel del secondo tipo, Y_α(z), sono soluzioni singolari (hanno valore infinito) in z=0.

La forma esplicita della soluzione J_α(z) è data dalla :

$J_\alpha(z) = \left( \frac{z}{2} \right)^\alpha \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n \left( \frac{z}{2} \right)^{2n}} {\Gamma (n + \alpha + 1) n!}$

La seconda soluzione dell'equazione di bessel è la Y_α(x) si chiama Funzione di Neumann. Y è legata a J dalla:

$Y_\alpha(z) = \frac{J_\alpha(z) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(z)}{\sin(\alpha\pi)},$

dove, nel caso di α si intende prendere il limite.

Per n interi, J_n e J_-n non sono linearmente indipendenti:

$J_{-n}(x) \,=\, (-1)^n J_n(x)$

$Y_{-n}(x) \,=\, (-1)^n Y_n(x)$

in questi casi Y_n è necessaria per fornire la seconda equazione linearmente indipendente, altrimenti risulta ridondante.

Grafico delle funzioni di Bessel di prima specie : J₀, J₁, and J₂.

Grafico delle funzioni di Bessel di seconda specie: Y₀, Y₁, and Y₂.

[modifica] Funzioni di Hankel

Un'altra importante formulazione di due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione di Bessel sono le Funzioni di Hankel H_α⁽¹⁾(z) e H_α⁽²⁾(z), definite da :

$H_\alpha^{(1)}(z) = J_\alpha(z) + i Y_\alpha(z)$

$H_\alpha^{(2)}(z) = J_\alpha(z) - i Y_\alpha(z)$

Queste combinazioni lineari sono conosciute anche come Funzioni di Bessel di terza specie.

[modifica] Funzioni di Bessel modificate

Le Funzioni di Bessel sono valide per argomenti complessi z, e un importante caso speciale sono quelle con argomento puramente immaginario. In questi casi,le soluzioni dell'Equazione di Bessel sono chiamate Funzioni di Bessel Modificate di prima e seconda specie, e vengono definite da :

$I_\alpha(z) \,:=\, i^{-\alpha} J_\alpha(iz)$

$K_\alpha(z) := \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(iz)$

queste sono due soluzioni linearmente indipendenti delle Equazioni di Bessel:

$z^2 \frac{d^2 y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} - (z^2 + \alpha^2)y = 0.$

Diversamente dalle funzioni di Bessel che sono oscillanti, le I_α e K_α divergono esponenzialmente e decadono esponenzialmente. Così come le equazioni di Bessel ordinarie J_α, la funzione I_α va a zero in x=0 per α > 0 ed è finita in z=0 per α=0. Analogamente , K_α diverge in x=0.

[modifica] Funzioni di Bessel sferiche

Nei casi in cui si voglia risolvere le Equazioni differenziali di Laplace con il metodo della Separazione delle Variabili l'equazione radiale ha la forma :

$z^2 \frac{d^2 y}{dz^2} + 2z \frac{dy}{dz} + [z^2 - n(n+1)]y = 0.$

Le due soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione sono dette Funzioni di Bessel Sferiche e si denotano convenzionalmente con le lettere minuscole j_n e y_n , e sono legate alle Funzioni di Bessel Ordinarie J_α eY_α dalle:

$j_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{n+1/2}(z),$

$y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n+1/2}(z) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-n-1/2}(z).$

Ci sono anche Funzioni di Hankel Sferiche:

$h_n^{(1)}(z) = j_n(x) + i y_n(z)$

$h_n^{(2)}(z) = j_n(x) - i y_n(z)$

[modifica] Forme asintotiche

Poiché le funzioni di Bessel sono definite tramite serie divergenti, risulta utile andarne a studiare l'andamento asintotico. Per piccoli argomenti 0 < z << 1, si ottiene:

$J_\alpha(z) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{z}{2} \right) ^\alpha$

$Y_\alpha(z) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \ln (z/2) & \mbox{se } \alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{z} \right) ^\alpha & \mbox{se } \alpha > 0 \end{matrix} \right.$