Besselova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Besselovou funkcí je označováno řešení Besselovy rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + (z^2 - \nu^2)w(z) = 0$

pro libovolné reálné číslo $ν$ , které je označováno jako řád Besselovy funkce.

Obsah

1 Cylindrické funkce
2 Sférické cylindrické funkce
3 Modifikovaná Besselova funkce
- 3.1 Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu
- 3.2 Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu
4 Související články
5 Literatura

[editovat] Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

[editovat] Besselova funkce

Není-li $ν$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

w (z) = c 1 J ν (z) + c 2 J - ν (z)

kde $J ν (z)$ a $J - ν (z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c 1, c 2$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $ν$ je definována vztahem

$J_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{{(-1)}^k}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$ ,

kde $Γ(x)$ je gama funkce.

Je-li $ν = n$ celé číslo, pak platí

J - n (z) = ( - 1) n J n (z)

Pro $n = 0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

$J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(z \sin\theta - n\theta)\mathrm{d}\theta$

Platí následující rekurentní vztahy

2ν J ν (z) = z J ν - 1 (z) + z J ν + 1 (z)

$2 J_\nu^\prime(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z)$

$z J_\nu^\prime(z) = \nu J_\nu(z) - z J_{\nu+1}(z)$

$z J_\nu^\prime(z) = -\nu J_\nu(z) + zJ_{\nu-1}(z)$

[editovat] Neumannova funkce

Je-li $ν = n$ celé číslo, pak $J n (z)$ a $J - n (z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

w (z) = c 1 J n (z) + c 2 N n (z)

kde $N n (z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $ν = n$ definovány vztahem

$N_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}$

Pro $ν$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

$N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}$

Je-li $ν = n$ celé číslo, pak platí

N - n (z) = ( - 1) n N n (z)

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

$J_\nu(z) N_{\nu+1}(z) - J_{\nu+1}(z) N_\nu(z) = -\frac{2}{\pi z}$

Platí následující rekurentní vztahy

2ν N ν (z) = z N ν - 1 (z) + z N ν + 1 (z)

$2 N_\nu^\prime(z) = N_{\nu-1}(z) - N_{\nu+1}(z)$

$z N_\nu^\prime(z) = \nu N_\nu(z) - z N_{\nu+1}(z)$

$z N_\nu^\prime(z) = -\nu N_\nu(z) + zN_{\nu-1}(z)$

[editovat] Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_\nu^{(1)}(z)$ a $H_\nu^{(2)}(z)$ , které jsou definovány jako

$H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + \mathrm{i}N_\nu(z)$

$H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - \mathrm{i}N_\nu(z)$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

[editovat] Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + 2z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + \left[z^2 - l(l+1)\right]w(z)=0$

pro celá nezáporná $l$ .

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

$j_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{l+\frac{1}{2}}(z)$

a sférickou Neumannovu funkci

$n_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} N_{l+\frac{1}{2}}(z) = {(-1)}^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-l-\frac{1}{2}}(z)$ ,

kde $J n$ jsou Besselovy funkce a $N n$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

j l (z) n l + 1 (z) - j l + 1 (z) n l (z) = - z - 2

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

$h_l^{(1)}(z) = j_l(z) + \mathrm{i}n_l(z)$

$h_l^{(2)}(z) = j_l(z) - \mathrm{i}n_l(z)$

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

$j_l(z) = {(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\sin z}{z}$

$n_l(z) = -{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\cos z}{z}$

$h_l^{(1)}(z) = -\mathrm{i}{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{z}$

Lze ukázat, že platí

j l ( - z) = ( - 1) l j l (z)

n l ( - z) = ( - 1) l + 1 n l (z)

$h_l^{(1)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(2)}(z)$

$h_l^{(2)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(1)}(z)$

[editovat] Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} - (z^2 + \nu^2)w(z) = 0$

[editovat] Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $ν$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

w (z) = c 1 I ν (z) + c 2 I - ν (z)

kde $I ν (z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

$I_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

I ν (z) = i - ν J ν (i z)

[editovat] Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $ν = n$ platí

I - n (z) = I n (z)

Pro celá $n$ tedy nejsou $I n (z)$ a $I - n (z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

w (z) = c 1 I n (z) + c 2 K n (z)

kde $K n (z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $ν$ je definováno

$K_\nu(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}$

Pro celá $ν = n$ pak platí

$K_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}$

[editovat] Související články

Diferenciální rovnice

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematické pahýly | Matematická analýza

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.