Fonction de Bessel
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :
pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus commun est quand n est un nombre naturel, et il est alors nommé l'ordre de la fonction.
Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :
- les fonctions de Bessel de première espèce Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
- les fonctions de Bessel de seconde espèce Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).
Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent parce qu'elles sont divisées par un terme de la forme 
.
Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.
Applications :
- les ondes électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne) ;
- les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
- l'étude d'instruments optiques ;
- le pendule de Bessel.
[modifier] Expression des fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :
Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :
[modifier] Propriétés (des Jn)
- Relations de récurrence :
- On en déduit :
- Orthogonalité :
λi et λj étant deux zéros distincts de Jn), on a : 
[modifier] Liens internes
