Equazione di Riccati

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Almeno tre tipi di equazioni differenziali sono noti come equazione di Riccati, ed hanno le seguenti forme:

$1) \, \, \, u'= P(z) + Q(z)u +R(z)u^2$

$2) \, \, \, \frac {du}{dz} = az^n+bu^2$

$3) \, \, \, z^2 u'' + [ z^2 - n(n+1)] u=0$

Le equazioni prendono il nome dai matematici Jacopo Riccati e suo figlio Vincenzo.

La generalizzazione delle equazioni di Riccati al caso matriciale ha importanti applicazioni nella teoria del controllo ottimo.

[modifica] Primo tipo

Il primo tipo di equazione di Riccati ha la forma

u' = P (z) + Q (z) u + R (z) u 2

dove P, Q e R sono funzioni note. Non va confusa con l'equazione differenziale di Abel del secondo tipo. Si risolve tramite la sostituzione

$a) \,\,\, u=-\frac {y'}{yR} \, \, \Rarr \,\, u'=\frac {y'(yR'+ y'R)-y''yR }{(yR)^2}$

Da cui si ottiene l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine

R y'' - (R' + Q R) y' + R 2 P y = 0

Se è possibile risolvere quest'ultima, sostituendo y nella a), si ricava la soluzione generale.

Un metodo risolutivo equivalente consiste nel porre

$b) \,\,\, y=e^{-\int {Ru}}$

Sostituendo si ricava di nuovo l'equazione lineare del secondo ordine

R y'' - (R' + R Q) y' + R 2 P y = 0

Nel 1760 Eulero ha dimostrato che, se si conosce una soluzione particolare $u 1$ dell'equazione originaria, allora è possibile ricondurre l'equazione dapprima ad un'equazione differenziale di Bernoulli, e quindi ad una lineare omogenea. Il tutto si abbrevia tramite la sostituzione

$y = \frac 1 {u-u_1}$

da cui si ottiene facilmente

y' = - (Q + 2 u 1 R) y - R

La soluzione generale risulta poi essere

$u = u_1 + \frac 1 y$

Sempre Eulero ha mostrato come, conoscendo due soluzioni $u_1, \, u_2$ , si ricava direttamente la soluzione generale, che assume la forma

$u = \frac { k u_1 e^{\int {u_1} - u_2 } - u_2} {k e^{\int {u_1} - u_2 } -1 }$

Altre proprietà notevoli sono state indagate da Picard e Weyr, e sono:

Conoscendo tre soluzioni particolari, la soluzione generale non richiede integrazioni
date quattro soluzioni particolari, il rapporto
$\frac{(u_1-u_2)(u_3-u_4)}{(u_1-u_4)(u_3-u_2)}$
è costante

L'equazione di Riccati del primo tipo può essere generalizzata da un'equazione differenziale ai quaternioni, ed è collegabile all'equazione di Schrödinger ad una dimensione.