Funzione parabolica del cilindro

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In matematica le funzioni paraboliche del cilindro sono funzioni speciali definite come soluzioni dell'equazione differenziale

$\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0$

Questa mediante un cambiamento di variabile si può mettere sotto le due distinte forme seguenti:

$(1) \qquad \frac{d^2f}{dz^2} - \left(\frac{z^2}{4}+a\right)f=0$

$(2) \qquad \frac{d^2f}{dz^2} + \left(\frac{z^2}{4}-a\right)f=0$

Se una soluzione ha la forma

$\, f(a,z)\,$ ,

sono soluzioni anche

$\, f(a,-z) , \quad f(-a,iz) \quad\mbox{e}\quad f(-a,-iz) \,$ .

Se una soluzione della (1) ha la forma

$\, f(a,z)\,$ ,

una soluzione della (2) è

$\, f\left( -ia,z\cdot e^{i \pi/4} \right)\,$ ,

e per simmetria sono soluzioni della (2) anche

$\, f\left( -ia,-z\cdot e^{i \pi/4} \right) ,\quad f\left( ia,-z\cdot e^{-i \pi/4} \right) ,\quad f\left( ia,z\cdot e^{-i \pi/4} \right)$ .

[modifica] Soluzioni

L'equazione (1) possiede soluzioni indipendenti pari e dispari

$y_1(a;z) = \exp(-z^2/4) \;_1F_1 \left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}; \; \frac{1}{2}\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)$

$y_2(a;z) = z\exp(-z^2/4) \;_1F_1 \left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}; \; \frac{3}{2}\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)$

dove al solito $\;_1F_1 (a;b;z)=M(a;b;z)\;$ denota la equazione ipergeometrica confluente .

Per valori di a semidispari queste soluzioni possono essere riespresse in termini di polinomi di Hermite; alternativamente esse possono essere espresse in termini di funzioni di Bessel.

[modifica] Notazione di Whittaker e Watson

Una notazione alternativa per le soluzioni de l'equazione (1) e utilizzata nel libro di Whittaker e Watson. La funzione $D n (z) = 2 n / 2 + 1 / 4 z - 1 / 2 W n / 2 + 1 / 4, - 1 / 4 (z 2 / 2)$ , dove $W κ,μ (z)$ e una funzione di Whittaker e soluzione de l'equazione (1) per $- a = n + 1 / 2$ (vedi equazione 19.3.1 nel libro di Abramowitz e Stegun). Altre soluzioni de l'equazione (1) sono $D n ( - z)$ , $D - n - 1 (i z)$ e $D - n - 1 (i z)$ .

Storicamente, le funzioni paraboliche del cilindro furono introdotte dal matematico tedesco H.F. Weber nel 1869 per risolvere l'equazione di Helmholtz in coordinate paraboliche utilizzando il metodo di separazione di variabile.