Anello artiniano
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In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili:
- anelli formati da un numero finito di elementi;
- anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un un campo.
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[modifica] Definizione
Per un generico anello, esistono più definizioni di anello artiniano:
- anello artiniano sinistro: anello i cui ideali sinistri soddisfano la condizione della catena discendente;
- anello artiniano destro: anello i cui ideali destri soddisfano la condizione della catena discendente;
- anello artiniano propriamente detto (o artiniano bilatero): anello artiniano destro e sinistro.
Se l'anello è commutativo, le tre definizioni sopra coincidono. Le definizioni coincidono anche per le due classi di anelli citate nell'introduzione.
[modifica] Proprietà
- Il teorema di Artin-Wedderburn caratterizza gli anelli semplici artiniani come anelli di matrici su anelli con divisione; gli anelli artiniani semplici sono inoltre tutti bilateri;
- ogni anello artiniano sinistro (destro) è un anello noetheriano sinistro (destro).
[modifica] Bibliografia
- Hopkins, Charles (luglio 1939). Rings with minimal condition for left ideals The Annals of Mathematics 40 (3): 712-730. DOI:10.2307/1968951. URL consultato il 2007-04-29.
[modifica] Voci correlate
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