Артиново кольцо
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
А́ртиново кольцо́ (по имени Э.Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей:
Всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого n pn=pn+1=…
Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент.
Если в определениии заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение т. н. нётерова кольца.
Несмотря на схожесть определений артиновых и нётеровых колец, на самом деле все артиновы кольца являются нётеровым. Для коммутативного кольца верна теорема, что кольцо A является артиновым тогда и только тогда, когда оно является нётеровыми и любой простой идеал максимален.
[править] Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. -М.:Мир, 1972
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. -М.:ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра. -М.:Мир, 1968