Нётерово кольцо
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Нётерово кольцо́ (по имени Э.Нётер) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: Всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого n.
Содержание |
[править] Примеры
- Простейший пример нётерова кольца — это кольцо главных идеалов.
[править] Связанные определения
- Если в определениии заменить возрастающие цепи на убывающие, то получим определение т. н. артинова кольца.
[править] Свойства
- Кольцо нётерово, тогда и тиолько тогда, когда в любом непустом множестве идеалов A существует максимальный элемент, а также если
- любой идеал p конечно порождён.
- теорема Гильберта о базисе: Для любого нётерова кольца A кольцо многочленов A(x) нётерово.
- В чатности, A(x1…xn) тоже нётерово.
- В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, что любой идеал A допускает примарное разложение.
[править] Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. -М.:Мир, 1972
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. -М.:ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра. -М.:Мир, 1968