Anel noetheriano
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Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.
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[editar] Introdução
Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.
Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:
- Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
- Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
- Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.
Para anéis comutativos as três definições coincidem.
[editar] Caracterização dos anéis noetherianos
Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:
- Todo ideal I é finitamente gerado. Isto é, existem a1,...,an em R tais que todo elemento de I pode ser escrito na forma r1a1 + ... + rnan, onde .
Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.
É sabido que para um anel comutativo R, se todo ideal primo for finitamente gerado, então R é noetheriano.
[editar] Utilização dos anéis noetherianos
A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécide de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.
Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.
[editar] Exemplos
- O anel dos inteiros .
- Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
- k[x], onde k é um corpo.
Temos também os seguintes exemplos de anéis que não noetherianos:
- Qualquer anel dos polinômios com um número finito de variáveis e com coeficientes em um corpo k.
- O anel F das funções contínuas de . Definindo para cada inteiro positivo , temos que a cadeia de ideais não é estacionária.
[editar] Propriedades
- Pelo teorema da base de Hilbert, é noetheriano.
- Dado um ideal I num anel comutativo R, temos que R / I é noetheriano.
- Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
- Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
- Um anel R é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo R-módulo é um módulo noetheriano.