חוג ארטיני
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה, חוג ארטיני הוא חוג המקיים את "תנאי השרשרת היורדת" על אידאלים שמאליים: לא קיימת שרשרת יורדת אינסופית 
של אידאלים שמאליים של החוג. התכונה נקראת על-שמו של אמיל ארטין, שראה בה דרך להכליל רבות מהתכונות של אלגברות בעלות ממד סופי מעל שדה.
ארטיניות קשורה באידאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.
כל אלגברה בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. המשפט המרכזי על חוגים ארטיניים הוא משפט ארטין-וודרברן, שלפיו כל חוג ארטיני ראשוני הוא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; ולכן זהו חוג פשוט. מכאן נובע שכל אידאל ראשוני של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש ממד קרול אפס).
חוגים פשוטים ארטיניים הם בעלי ממד סופי מעל המרכז שלהם, שהוא שדה. תכונה חשובה נוספת של חוגים ארטיניים היא שרדיקל ג'ייקובסון של חוג כזה הוא נילפוטנטי; מודולו הרדיקל, החוג הוא סכום ישר של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.
[עריכה] ארטיניות ונותריות
תנאי השרשרת היורדת דואלי לתנאי השרשרת העולה, המגדיר חוגים נותריים. תנאי השרשרת היורדת שקול לכך שבכל קבוצה של אידאלים, ישנו אידאל מינימלי (ביחס להכלה); בדומה, תנאי השרשרת העולה שקול לכך שבכל קבוצה של אידאלים ישנו אידאל מקסימלי. למרות הדמיון בין התכונות, קיומם של אידאלים מקסימליים באוסף מובטח במקרים רבים על ידי הלמה של צורן, בעוד שיש חוגים ללא אידאלים מינימליים כלל. התכונות אינן סימטריות כלל וכלל: ארטיניות היא תכונה חזקה ביחס, ומשפט הופקינס-לויצקי קובע שכל חוג ארטיני הוא נותרי.
לדוגמה, תחום שלמות לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא שדה); אבל חוג המספרים השלמים (וכל חוג שלמים בשדה מספרים) הם חוגים נותריים.
