Artinsch

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Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiele
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Ein Modul $M$ über einem Ring mit $1$ heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

(absteigende Kettenbedingung) Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette

$M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\ldots$ gibt es einen Index

N

, so dass

$M_N=M_{N+1}=M_{N+2}=\ldots$ gilt.

(Minimalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von $R$ -Untermoduln von $M$ hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.

Ein Ring $R$ heißt linksartinsch, wenn $R$ artinsch als $R$ -Linksmodul ist.

Ein Ring $R$ heißt rechtsartinsch, wenn $R$ artinsch als $R$ -Rechtsmodul ist.

Ein Ring $R$ heißt artinsch, wenn $R$ links- und rechtsartinsch ist.

Die Untermoduln sind dann gerade die Ideale.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist $R$ eine (assoziative) Algebra über einem Körper $K$ , und hat ein $R$ -Modul $M$ endliche $K$ -Dimension, so ist $M$ artinsch.
Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring ist nulldimensional, wenn jedes Primideal maximal ist.) Insbesondere ist jeder Körper artinsch.
Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch.
Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper, es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
Ein linksartinscher Ring ist auch linksnoethersch. (die Umkehrung gilt i.A. nicht, auch gilt dies nicht für $R$ -Moduln)

[Bearbeiten] Beispiele

Ist $K$ ein Körper, so sind die Ringe $K\times K$ und $K [T] / (T n)$ artinsch.
Die $\mathbb{Z}$ -Moduln $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sind artinsch, $\mathbb{Z}$ selbst jedoch nicht.
$\begin{pmatrix} \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
$\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 0 & \mathbb{R} \end{pmatrix}$ ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.