Primideal

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In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
- 1.1 Äquivalente Definitionen
2 Eigenschaften
3 Beispiele

[Bearbeiten] Definitionen

Es sei $R$ ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p} \subseteq R$ Primideal oder prim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist, also $\mathfrak{p} \neq R$ , und wenn für alle Ideale $\mathfrak{a, b} \subseteq R$ gilt:

Aus $\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}$ folgt $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$ oder $\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.$

Außerdem heißt $\mathfrak{p}$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus $ab \in \mathfrak{p}$ folgt $a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}.$

[Bearbeiten] Äquivalente Definitionen

Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus (für alle $r \in R$ gilt $arb \in \mathfrak{p}$ ) folgt ( $a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}$ ).

Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring $R/\mathfrak{p}$ nullteilerfrei ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen $R$ mit Einselement gilt:

Ein Element $p \in R$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
Enthält ein Primideal einen Durchschnitt $\bigcap \mathfrak{a}_i$ von Idealen, so enthält es auch ein $\mathfrak{a}_i$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge $6\mathbb{Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb{Z}$ , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Ein maximales Ideal $\mathfrak{m}\subseteq R$ eines Ringes $R$ ist genau dann prim, wenn $RR \nsubseteq \mathfrak{m}$ . Insbesondere ist $\mathfrak{m}$ prim, falls $R$ ein Einselement enthält.