Maximales Ideal
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Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.
[Bearbeiten] Definition
Es sei R ein Ring. Dann heißt ein Ideal 
maximal, wenn 
ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion 
(teilweise) geordneten Menge aller echten Ideale. D.h. 
und für jedes Ideal 
gilt:
- Aus
folgt 
In anderen Worten:
Ein Ideal 
ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von R ist.
[Bearbeiten] Bemerkungen
- Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
- Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
- Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
- Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein (noetherscher) Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet.
- Sei ein Ideal des kommutativen Ringes R mit 1. Der Faktorring
ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist. - Ein maximales (zweiseitiges) Ideal eines Ringes R ist genau dann prim, wenn
. Insbesondere ist prim, falls R ein Einselement enthält.
[Bearbeiten] Beispiele
- Im Ring
der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional. In einem Hauptidealring gilt dieser Satz ebenfalls. - Sei
der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus
-
- Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev0 ist
, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0) = 0, ein maximales Ideal.
