רדיקל ג'ייקובסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא החיתוך של כל האידאלים השמאליים המקסימליים. באופן אינטואיטיבי, זהו אוסף האיברים בחוג המתנהגים כמעט כמו אפס. לדוגמה, בחוג קומוטטיבי, כל איבר נילפוטנטי שייך לרדיקל ג'ייקובסון.

על פי הצעת פרופסור משה ירדן המונח העברי הוא שרשון ג'יקובסון [1].

[עריכה] הגדרה

[עריכה] הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים

בהינתן חוג R, R-מודול (שמאלי) M נקרא מודול פשוט אם אין לו תת-מודולים אמיתיים השונים ממודול ה-0. המאפס של מודול M (מסומן ב (ann(M) מוגדר להיות אוסף כל האיברים בR המאפסים את M. כלומר:

$\,ann(M) = \{x\in R:xM = 0\}$

המאפס של M הוא אידאל שמאלי בR. רדיקל ג'ייקובסון של R (המסומן ב(rad(R) מוגדר להיות חיתוך המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל R. כלומר:

$\,rad(R) = \bigcap_{\mbox{M is a simple left R-module}} ann(M)$

במילים אחרות, איברי רדיקל ג'ייקובסון הם כל האיברים של R אשר פעולתם על מודולים פשוטים זהה לפעולתו של 0 על מודולים אלו. אבחנה זו נותנת אינדיקציה ראשונה לאפיון רדיקל ג'ייקובסון כאוסף האיברים המתנהגים כמעט כמו 0.

[עריכה] הגדרה באמצעות אידאלים מקסימלים

ניתן להוכיח כי כל מודול שמאלי פשוט M מעל חוג R איזומורפי למודול $\,R/m$ כאשר m הוא אידאל מקסימלי שמאלי. גם ההפך הוא הנכון: לכל אידאל מקסימלי שמאלי m, המודול השמאלי $\,R/m$ הוא מודול פשוט. המאפס של מודול מהצורה $\,R/m$ שווה לm, ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג R שווה בדיוק לאוסף כל האידאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לפיכך, נוכל להגדיר את רדיקל ג'ייקובסון כחיתוך כל האידאלים המקסימלים השמאליים בחוג: $\,rad(R) = \bigcap_{\mbox{m is a left maximal ideal of R}} m$

אף שהגדרה זו פחות אינטואיטיבית מההגדרה הקודמת, יתרונה בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של R עצמו, ואין צורך לבנות מודולים מעל R בשביל לחשב את הרדיקל של R באמצעותה. בנוסף, אף שהגדרה זו, לכאורה, אינה סימטרית, שכן היא מתמקדת באידאלים מקסימלים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי למעשה אין קושי בעבודה עם אידאלים ימניים: בכל חוג R, חיתוך כל האידאלים המקסימלים השמאליים שווה לחיתוך כל האידאלים המקסימלים הימניים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידאל דו-צדדי.

[עריכה] הגדרה באמצעות הפיכות של איברים

אם $\,y\in rad(R)$ , אז לכל $\,x\in R$ ולכל אידאל מקסימלי שמאלי m, מתקיים ש $\,y\in m$ , ולכן, מכיוון שm סופג כפל משמאל, הרי ש $\,xy\in m$ . לכן, מכיוון שm סגור לחיבור, ומכיוון שm אינו מכיל את 1 (אידאל מקסימלי מוגדר להיות כזה שאינו שווה לחוג כולו), הרי ש $\,1-xy\notin m$ . עובדה זו נכונה לכל אידאל מקסימלי שמאלי m. אך איבר בחוג אינו שייך לאף אידאל מקסימלי שמאלי אם ורק אם הוא הפיך משמאל, ולכן $\,1-xy$ הוא הפיך משמאל.

גם ההפך הוא הנכון - אם עבור איבר y מתקיים שלכל $\,x\in R$ האיבר $\,1-xy$ הוא הפיך משמאל, וm הוא אידאל מקסימלי כלשהו, אז אילו $\,y\notin m$ , הרי שמתקיים $\,m+(y) = (1)$ , ולכן קיים $\,x \in R$ ו $\,z \in m$ כך ש $\,z+xy = 1$ . אבל אז $\,m\ni z=1-xy$ הוא איבר הפיך, וזה לא ייתכן. לכן $\,y\in m$ , ולכן נוכל לאפיין את רדיקל ג'ייקובסון על ידי: $\,rad(R) = \{y \in R:\forall x \in R, \mbox{1-xy is left invertible}\}$

[עריכה] הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים

איבר x בחוג R נקרא איבר לא-יוצר אם מתקיים התנאי הבא: אין אידאל שמאלי אמיתי $\ L<R$ כך ש- $\,L+Rx=R$ . ניתן להראות שאוסף האיברים הלא יוצרים של חוג שווה בדיוק לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.

[עריכה] דוגמאות

אם k הוא שדה (או באופן יותר כללי - חוג עם חילוק), אז לk אין אידאלים מקסימלים שמאליים פרט לאידאל ה0, ולכן $\,rad(k) = 0$ .
בחוג חילופי, כל אידאל מקסימלי שמאלי הוא אידאל מקסימלי (ולהפך), ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג חילופי שווה לחיתוך כל האידאלים המקסימלים בחוג.
בחוג המספרים השלמים $\,\mathbb{Z}$ , האידאלים המקסימלים הם האידאלים $\,p\mathbb{Z}$ , כאשר p הוא מספר ראשוני. לכן, מספר שלם שייך לרדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים, אם ורק אם הוא מתחלק בכל מספר ראשוני, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים שווה ל0.
אם R הוא חוג מקומי (חילופי) אז לR אידאל מקסימלי יחיד m, ולכן $\,rad(R) = m$ .

[עריכה] חוגי הילברט

חוג חילופי R נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידאל ראשוני בR שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידאלים מקסימלים בR. במקרה כזה, חיתוך כל האידאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו. למשל, אם k הוא שדה אז חוג הפולינומים בn משתנים מעל k - $\,k[x_1,\dots,x_n]$ הוא חוג הילברט (במקרה שk שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש $\,rad(k[x_1,\dots,x_n]) = 0$ . מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית שווה ל0. את הקשר ההדוק בין חוגי הילברט לרדיקל ג'ייקובסון של חוג ניתן לנסח כך: חוג חילופי R הוא חוג הילברט אם ורק אם לכל אידאל ראשוני p בR, רדיקל ג'ייקובסון של חוג המנה R/p שווה ל0. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידאלים מקסימלים בחוג המנה לאידאלים מקסימלים בR המכילים את p.

[עריכה] הלמה של נקאימה

ערך מורחב – הלמה של נקאימה

ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל0 ניתנת על ידי הלמה של נקאימה: אם M הוא R-מודול נוצר סופית ואם $\,rad(R)\cdot M = M$ אז $\,M=0$ . יתר על כן, אם N תת מודול של M כך שמתקיים $\,rad(R)\cdot M + N = M$ אז בהכרח $\,N=M$ . מכך נובע כי לכל R-מודול נוצר סופית M, תת המודול $\,rad(R)\cdot M$ הוא "קטן מאוד".

[עריכה] רדיקל ג'ייקובסון של חוג ללא יחידה

אם R הוא חוג, לא דווקא עם יחידה, נוכל להגדיר על R פעולה בינארית חדשה $\,\circ:R\times R\rightarrow R$ על ידי: $\,a\circ b = a+b-ab$ . ביחס לפעולה זו, $\,(R,\circ)$ הוא מונואיד ואיבר היחידה שלו הוא 0. איבר a בחוג R נקרא קוואזי-רגולרי משמאל אם a הפיך משמאל ביחס לפעולה $\,\circ$ . בדומה, a נקרא קוואזי-רגולרי מימין אם a הפיך מימין ביחס לפעולה זו. a הוא קוואזי-רגולרי אם a קוואזי-רגולרי הן מימין והן משמאל. תת קבוצה $\,A\subseteq R$ נקראת קוואזי-רגולרית (או קוואזי-רגולרית משמאל) אם כל איבר בה הוא קוואזי-רגולרי (או קוואזי-רגולרי משמאל). בעזרת מושג זה נוכל להגדיר את רדיקל ג'ייקובסון של חוג שאין לו בהכרח יחידה: $\,rad(R) = \{x\in R:Rx \mbox{ is left quasi-regular}\}$

ניתן להוכיח כי אם לR יש יחידה, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה הרגילה של רדיקל ג'ייקובסון לחוג עם יחידה.

[עריכה] בעיית ה J-semisimplicity

חוג R נקרא J-פשוט למחצה אם מתקיים $\,rad(R) = 0$ . אם G היא חבורה וk הוא שדה בעל מאפיין 0, בעיית הJ-semisimplicity שואלת האם חוג החבורה $\,kG$ הוא חוג J-פשוט למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הוכיח כי אם k הוא לא שדה מספרים אז $\,kG$ הוא חוג J-פשוט למחצה. במקרה שk הוא שדה מספרים, הבעיה עדיין פתוחה.

[עריכה] לקריאה נוספת

T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.
M.F. Atiyah, I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.

קטגוריה: תורת החוגים

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.