חוג מקומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החוגים, חוג מקומי הוא חוג, שיש לו אידאל מקסימלי יחיד. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך המיקום של חוג נתון ביחס לאידאל ראשוני של אותו חוג.

אם R חוג קומוטטיבי מקומי ו- M האידאל המקסימלי שלו, אז כל איבר מחוץ ל- M הוא הפיך.

חוג מקומי R בעל ממד קרול d הוא חוג מקומי רגולרי, אם האידאל המקסימלי שלו, M, נוצר על ידי d יוצרים. כל תחום הערכה דיסקרטית הוא חוג מקומי; ותחום שלמות מקומי רגולרי בעל ממד קרול 1 הוא תחום הערכה דיסקרטית.

[עריכה] מיקום

יהי R חוג קומוטטיבי עם יחידה, ו- S תת-קבוצה של R, המכילה את 1 וסגורה לכפל, ואינה מכילה את 0. המיקום של R ב-S הוא החוג , שבו החיבור של שברים מוגדר לפי , והכפל לפי . החוג החדש מכיל את החוג R, ויש התאמה חד-חד-ערכית בין סריג האידאלים שלו, לסריג האידאלים של R הזרים ל-S.

אם P אידאל ראשוני של R, אז המיקום של R ביחס ל-P הוא החוג . זהו חוג מקומי, שהאידאל המקסימלי היחיד שלו הוא .

[עריכה] דוגמאות

חוג השלמים ה-p-אדיים, הוא חוג מקומי, המתקבל מחוג השלמים על ידי מיקום באידאל הראשוני הנוצר על ידי הראשוני p.

[עריכה] לקריאה נוספת

1. abstract algebra - second edition - Dummit & Foote

2. wolframmathworld