קרל פרידריך גאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קרל פרידריך גאוס
Carl Friedrich Gauss
1777 - 1855

תרומות עיקריות

תורת המספרים, חוק גאוס, דירוג מטריצות, אלימינציית גאוס-ג'ורדן,אלגוריתם גאוס-ניוטון, חקר מגנטיות.מגדולי המתמטיקאים.

נתונים נוספים
ענף מדעי	אסטרונומיה,מתמטיקה, פיזיקה
ארצות מגורים	גרמניה
פרסים והנצחה	קיבל מדליית קופלי. הונצח ב:גאוס,פרס גאוס (החברה המתמטית הגרמנית)
הערות	תלמידים מפורסמים:פרידריך בסל,ריכרד דדקינד,ברנרד רימן

יוהן קרל פרידריך גאוס (גרמנית: Carl Friedrich Gauß, להאזנה (מידע · עזרה), 30 באפריל 1777 - 23 בפברואר 1855) מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס מכונה נסיך המתמטיקאים, והוא מוזכר בנשימה אחת יחד עם ארכימדס וניוטון.

גאוס תרם רבות בתחומי האלגברה, תורת המספרים, גאודזיה, תורת הכבידה, תורת החשמל והמגנטיות, אסטרונומיה, אופטיקה ועוד.

[עריכה] ביוגרפיה

[עריכה] שנים ראשונות

פסל של גאוס בעיר הולדתו, בראונשווייג

גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה תחתית כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. גאוס עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים כאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, הוא כי עוד בטרם מלאו לו 3 שנים, נתגלה להוריו כשרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך דקות ארוכות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. סיפור מפורסם מבית הספר היסודי מספר כי מורהו של גאוס ביקש להעסיק את תלמידי הכיתה בתרגיל שלפתרונו הייתה דרושה שעה ארוכה. התרגיל היה לחבר את המספרים מ-1 עד 100, והנה לא עברו כמה שניות וגאוס, באותה עת בן 7 בלבד, הניח את לוח-היד שהיה נהוג באותם ימים, קרא "!Lieget se" ("הנה זה מונח", בניב המקומי) ונתן את הסכום: 5,050. בדיעבד התברר כי הוא גילה את הטור החשבוני בלי להיות מודע לכך: הוא הבחין שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני האחרון וכן הלאה (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51). מה שצריך היה לעשות הוא להכפיל 101 כפול מספר הזוגות (שהוא מחצית מספר האיברים n), וכך מתקבל הפתרון. (נוסחה: $\,(n+1)\cdot(n/2)$ ). בספרו A First Course in Abstract Algebra טוען ג'וזף רוטמן כי הסיפור הוא בגדר אגדה בלבד.

אביו של גאוס, שהיה חסר השכלה ואב קשוח, רצה כי בנו ימשיך בדרכו ויהיה לבנאי ולכן התנגד להמשך לימודיו של בנו. אולם, אימו של גאוס הכירה בגאונותו של בנה ותמכה בהמשך לימודיו. מורהו, ביטנר, הכיר אף הוא בגאונותו של גאוס והסב אל גאוס את תשומת לבו של הדוכס מבראונשווייג, קרל וילהלם פרדיננד. הדוכס אכן נתן את תמיכתו וחסותו בהמשך לימודיו התיכוניים והאוניברסיטאיים של גאוס.

[עריכה] תחילת דרכו

גאוס קיבל מלגה מהדוכס ובשנים 1792 עד 1795 למד ב-Collegium Carolinum (כיום האוניברסיטה הטכנית בבראונשווייג (Technische Universität Braunschweig)). משם המשיך ללימודים גבוהים באוניברסיטת גטינגן שם למד עד 1798.

פריצת הדרך שלו הייתה ב-1796, כאשר הראה באמצעות הרעיון של הרחבת שדות שכל מצולע משוכלל שמספר צלעותיו הוא מספר פרמה (ועקב כך כל מכפלה של מספר פרמה בחזקה של 2) ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. לתגלית זו הייתה חשיבות רבה בהתפתחות האלגברה, ובזכות הכנסת המישור המרוכב לשימוש, ובזכות פתיחת שערים לתיאוריות מתמטיות עמוקות כמו תורת גלואה. תגלית זו הייתה ההתקדמות המשמעותית הראשונה בנושא בניות בסרגל ומחוגה מזה למעלה מ-2000 שנה, והיא היוותה נקודת מפנה בחייו של גאוס מכיוון שהיא הניעה אותו לבחור במתמטיקה כקריירה ולא בתחום אחר בו התעניין באותה תקופה: הבלשנות. כחובב בלשנות נלהב שלט היטב גאוס בשפות רבות: גרמנית, יוונית, לאטינית, צרפתית, אנגלית ודנית. גאוס היה גאה מאוד בתגליתו זו עד שביקש שייחרט על מצבתו מצולע משוכלל בן 17 צלעות.

1796 הייתה השנה היצירתית ביותר עבור גאוס ותורת המספרים. הוא המציא את החשבון המודולרי, המתאר מניפולציות בתורת המספרים בצורה חדשה ופשוטה יותר. ב-8 באפריל הוא היה הראשון שהוכיח את משפט ההדדיות הריבועית אשר נוסח לראשונה על ידי אוילר ולז'נדר, האחרון אף הוכיח אותו למקרים פרטיים בלבד. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", ועדות לחיבה שרחש לו היא שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (שתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). חשיבות המשפט בכך שאיפשר למתמטיקאים לבדוק את קיומם של הפתרונות לכל משוואה מודולרית.

ב-10 ביולי גילה כי כל מספר ניתן להצגה כסכום של 3 מספרים משולשים לכל היותר, וציין זאת בהערה מפורסמת ביומנו: "אוריקה! ∆ + ∆ + ∆ = num". ב-1 באוקטובר הוא פרסם תוצאה מתמטית על מספר הפתרונות של פולינום בעל מקדמים השייכים לשדה סופי.

[עריכה] שנים אמצעיות

העמוד הראשי של מחקרים אריתמטיים

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) גאוס סיפק הוכחה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. מתמטיקאים אחרים ניסו להוכיח משפט זה לפניו, ביניהם ד'אלמבר, אותו אף ביקר גאוס במסמכו זה. הוכחה זו הייתה טופולוגית במהותה, ואף על פי שהיו בה רעיונות מקוריים, היה בה פער לוגי, ולפיכך היא לא נתקבלה. במרוצת חייו סיפק גאוס עוד 3 הוכחות שונות של תוצאה זו; האחרונה שבהן ב-1849 והיא נחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן לפי הסטנדרטים של היום.

ב-1801 גאוס פרסם את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae) שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק 3 שנים מאוחר יותר. יצירה זו כללה תיאור מחדש של תוצאות קודמות של מתמטיקאים שעסקו בתורה זו, באמצעות חשבון מודולרי, המשפט היסודי של האריתמטיקה, ומספר רעיונות נוספים כגון האינדקס. כמו כן סיפק הוכחה של משפט ההדדיות הריבועית, ויצר תאוריה חדשה של שאריות ריבועיות, תורת התבניות הריבועית, ותאוריה של בנייה בסרגל ומחוגה. ביצירה זו הניח את היסודות לאלגברה לינארית כאשר הגדיר מושגים רבים בתחום זה, ותיאר את רעיון השקילות בין משוואות והמציא את המושג מטריצה. שיטת דירוג מטריצות ידועה גם כשיטת הלכסון של גאוס עד היום (ראו גם: דטרמיננטה, אלימינציית גאוס-ג'ורדן, שדה המספרים המרוכבים).

באותה שנה גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד^[1] קרס, אבל יכול היה לצפות בו למשך זמן קצר בלבד, והתקשה לחזות את מיקומו העתידי בשימוש הכלים המתמטיים של התקופה. גאוס בן ה-23 שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר 3 חודשי עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את התיזמון והמקום בו יופיע האסטרואיד שוב. ואכן, בהתאם לתחזית, האסטרואיד התגלה בדצמבר אותה שנה על ידי הברון פרנץ פון זאך. הכלים המתמטיים באותה תקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של תנועת האסטרואיד ממידע כה מועט, ואף על פי כן החיזוי היה כה מדויק, שהישג זה הביא לגאוס תהילה והכרה עצומה מיידית והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה ומנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם, עם מותו של הדוכס ב-1807 החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו ואף החזיק בה עד יום מותו.

התפלגויות נורמליות שונות בסטטיסטיקה

גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו על תאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 תחת השם - Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum - "תאוריית התנועה של גופים שמימיים בחתכים חרוטיים סביב השמש". בחיבור זה תיאר גאוס את שיטת החיזוי למסלולם של אסטרואידים. החיבור הכיל תיאור ושימוש של שיטת הריבועים הפחותים, כלי מתמטי בו נעזרים עד היום בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות מדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות נורמלית של שגיאות, גאוס הוכיח בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795. תוצאה חשובה נוספת של חיבור זה הייתה קבוע הכבידה הגאוסי. ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של מגדל הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר אור שמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות.

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה, המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה Disquisitiones circa superticies curvas, שהינו יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח משפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה. מאוחר יותר, ב-1841, סיפק גאוס הוכחה נוספת למשפט לז'נדר בטריגונומטריה כדורית.

קרל פרידריך גאוס, 1828

ב-1829 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בולאי, בנו של פרקס בולאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא אוקלידית ופרסם מספר תוצאות לגביה ב-1832. מאוחר יותר טען גאוס כי התוצאות שפרסם בולאי היו תוצאות אליהן הגיע בעצמו לפניו אבל לא פרסמן מעולם. למעשה, הוא גילה את התאוריה 35 שנה קודם לכן, אך סירב לפרסמה מחשש שגאומטריה חדשה מסוג זה תיחשב לכפירה פילוסופית. חליפות מכתבים של גאוס המתוארכות לפני 1829 מעידות כי הוא התייחס לנושא אקסיומת המקבילים של אוקלידס. בספרו משנת 2003 Gauss, Titan of Science מוכיח בהצלחה ואלדו דוניגטון כי גאוס אכן החזיק בהוכחה של הגאומטריה הלא-אוקלידית לפני בולאי אך עמד בסירובו לפרסמה.

[עריכה] שנותיו האחרונות

ב-1831 פצח גאוס בשיתוף פעולה עם הפיזיקאי וילהלם ובר. שיתוף פעולה זה היה פורה ביותר והוביל לידע חדש בתאוריה של חשמל ומגנטיות, כגון יצוג של יחידה מגנטית במונחים של מסה, אורך וזמן וכן גילוי חוקי קירכהוף. גאוס עצמו ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה. ב-1833, תיכננו גאוס ו-ובר את הטלגרף האלקטרומגנטי הראשון, שקישר בין מצפה הכוכבים אל מכון הפיזיקה בתוך אוניברסיטת גנטיגן. כמו כן פיקח גאוס על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים ויחד עם ובר יסד את magnetischer Verein (המועדון המגנטי) אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים. כחלק מניסוי זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של שדה מגנטי, שיטה אשר נעשה בה שימוש רב במחצית השנייה של המאה ה-20 והיוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ.

גאוס הגיע למסקנות חשובות נוספות בחקר השדה המגנטי של כדור הארץ, והמציא את המגנטומטר הראשון. באמצעות המגנטומטר שהמציא מדד ב-1835 את עוצמת השדה המגנטי של כדור הארץ, ובכך נרשם בדפי ההיסטוריה כאדם הראשון שמדד את עוצמת השדה המגנטי של כדור הארץ.

גאוס נפטר בשנת 1855 (כחודשיים לפני יום הולדתו ה-78), בגטינגן, שם אף נקבר. מוחו של גאוס לא נקבר עימו אלא נמסר למחקר מדעי; נמצא כי משקלו 1,492 גרם ושטחו הצֶרֶבְּרָלִי 219,588 סמ"ר. נמצאה גם רמת פיתולים גבוהה במיוחד, ממצא אשר בתחילת המאה ה-20 הוצע כהסבר לגאונות שלו.

לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו יומן, שלימים הפך לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה. ביומן זה, אותו ניהל בין השנים 1796 ו-1814, רשם גאוס את תגליותיו בצורה מדויקת כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן נותרו לא מפורסמות. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, אשר חלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן, למשל משפט אינטגרל קושי, אשר נוסח על ידי גאוס בטרם התגלה על ידי קושי ונקרא על שמו, וכן גילוי הקווטרניונים בטרם גילה אותם ויליאם רואן המילטון.

[עריכה] משפחה

גאוס נישא לראשונה ב-9 באוקטובר 1805 ליואנה אוסטהולף. לזוג נולדו 3 ילדים: יוזף (1806-1873), וילהלמינה (1808-1846) ולואי (1809-1810). אולם, אושר זה לא נמשך זמן רב ונקטע על ידי שרשרת של אירועים טרגיים: ב-1808 נפטר אביו של גאוס ושנה לאחר מכן נפטרה אשתו בלידת הבן לואי, אשר נפטר אף הוא זמן קצר לאחר מכן. אירועים אלו השפיעו קשות על גאוס והוא שקע בדיכאון עמוק. כשהוא מטופל בשני ילדים קטנים, החליט גאוס להנשא שנית כשנה לאחר מכן לאחת מחברותיה של אשתו, פרדריקה וילהלמינה וולדק (אשר כונתה מינה). נולדו להם 3 ילדים: אויגן (1811-1896), וילהלם (1813-1879) ותרזה (1816-1864). מינה סבלה ממחלות רבות ונפטרה ב-1831. בתו תרזה השתלטה על אחזקת הבית ודאגה לכל מחסורו של גאוס עד מותו. אימו של גאוס אף היא חיתה עימו בביתו מ-1817 עד מותה ב-1839.

גאוס התעמת עם ילדיו על רקע בחירת מקצועם: הוא לא העריך אותם כמתמטיקאים ולא רצה שיעסקו בתחום, מחשש שיכתימו את שם המשפחה. העימות הקשה ביותר היה עם בנו אויגן אשר גאוס בחר עבורו במקצוע המשפטים, אך אויגן העדיף להתרכז בלימודי שפות אותם לא הסכים אבין לממן. לבסוף היגרו שני בניו של גאוס, אויגן ווילהלם, למיזורי, ארצות הברית. מבין כל ילדיו הייתה וילהלמינה היחידה שנחשבה בעלת כשרון מתמטי קרוב לשל אביה.

[עריכה] אישיות

גאוס היה דתי אדוק ואדם שמרן. הוא תמך במונרכיה והתנגד לנפוליאון. כמו כן היה פרפקציוניסט נלהב ומסור לעבודתו. לפי אייזק אסימוב, גאוס הופרע פעם באמצע תהליך פתרון בעיה וסופר לו שאישתו גססה. נטען כי תשובתו של גאוס הייתה: "תגיד לה לחכות רגע עד שאסיים". אנקדוטה זו נידונה בקצרה בביוגרפיה של גאוס שנכתבה על ידי וולדו דונינגטון: "Gauss, Titan of Science", ובה נטען כי זהו סיפור מפוקפק.

המוטו האישי של גאוס היה "pauca sed matura" - מעט, אך בשל. בהתאם לכך הוא התמיד בסירובו לפרסם עבודות אותן לא החשיב למושלמות ומעל לכל ביקורת, והעדיף ללטש עבודות גמורות שוב ושוב. מחקר של יומניו הפרטיים חושף כי למעשה הוא גילה מושגים ומשפטים מתמטיים רבים שנים ואף עשורים לפני שנתגלו באופן בלתי תלוי על ידי אחרים. היסטוריון המתמטיקה הידוע אריק טמפל בל העריך שאם גאוס היה מפרסם את כל תגליותיו בזמנו, המתמטיקה הייתה מתקדמת בלמעלה מ-50 שנה.

גאוס היה ידוע ביכולתו המדהימה לחישוב בעל פה. כאשר נשאל איך הצליח לחזות את מסלולו של קרס בכזו דייקנות הוא ענה: "השתמשתי בלוגריתמים". השואל רצה לדעת איך הוא מסוגל לשלוף במהירות כל כך הרבה מספרים גדולים מהסתכלות בטבלאות, גאוס ענה: "להסתכל בהם? אני פשוט מחשב אותם בראש".

יחסיו של גאוס עם מתמטיקאים אחרים היו נתונים לביקורת: לעתים נדירות, אם בכלל, שיתף פעולה עם מתמטיקאים אחרים ונחשב למרוחק ומסוגר על ידי רבים. נאמר עליו שהוא נכח אך ורק בכינוס מדעי אחד, שהתקיים בברלין ב-1828. גאוס סירב בדרך כלל להציג את האינטואיציה שמאחורי ההוכחות שלו, שהיו לעתים קרובות אלגנטיות מאוד. גישה זו מוסברת במלואה אך בקצרה על ידי גאוס עצמו ביצירתו "Disquisitiones Arithmeticae", בה הוא מכריז כי על הדרך לפתרון הבעיה להיות תמציתית. כמו כן נטען כי גאוס לא תמך במתמטיקאים הצעירים שהמשיכו בעקבותיו. אף על פי שלימד מספר תלמידים, היה ידוע בשנאתו להוראה. למרות זאת, כמה מתלמידיו נעשו למתמטיקאים רבי השפעה, ביניהם ריכרד דדקינד, ברנרד רימן ופרידריך בסל. גאוס אף ניהל חליפת מכתבים ארוכת שנים עם סופי ז'רמן והמליץ עליה לשם קבלת תואר כבוד מאוניברסיטת גטינגן.

כתחביבים עסק גאוס בקריסטלוגרפיה (ואף פרסם חיבור על נושא זה), וכן התעניין במינרלוגיה ובוטניקה. תחום עניין מעט יוצא דופן מבחינת פועלו של גאוס, הוא חקר האפשרות של קיום צורות חיים נבונות מחוץ לכדור הארץ. הוא היה הראשון שהעלה רעיון להעביר מסר אופטי לישויות אחרות (על תקשורת רדיו לא דובר אז, שכן היה זה הרבה לפני גילוי גלי הרדיו): לנטוע במדבר סהרה שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורה של תרשים משפט פיתגורס, ואם יבחינו אותם יצורים בצורה הזאת, יבינו כי לא נותרה במקרה אלא על ידי יצורים נבונים אחרים וייצרו עימנו קשר באופן כלשהו.

[עריכה] הנצחת שמו

תמונתו של גאוס כפי שהופיעה על שטר גרמני בן 10 מארק בין השנים 1989-2001

גאוס: יחידת מידה לשדה מגנטי
קבוע מתמטי בתורת המספרים על שמו גאוס $G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}$
מערכת היחידות cgs המכונה לעתים "המערכת הגאוסיאנית".
תמונתו ועקומת ההתפלגות הנורמלית הופיעו על שטר גרמני בן עשרה מארק
פרס קרל פרידריך גאוס למתמטיקה
מכתש גאוס - מכתש על הירח
אסטרואיד 1001 Gaussia
הספינה ששימשה ב-1901 את המשלחת הגרמנית הראשונה לאנטארקטיקה נקראה גאוס
הר גאוס (גאוסברג), הר געש לא פעיל שנתגלה באנטארקטיקה ב-1902
מגדל גאוס, מגדל תצפית בגרמניה

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae, tr. Arthur A. Clarke, Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.
Dunnington, G. Waldo. (June 2003). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-547-X.
Hall, T. (1970). Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0-262-08040-0.
Asimov, I. (1972). Biographical Encyclopedia of Science and Technology; the Lives and Achievements of 1195 Great Scientists from Ancient Times to the Present, Chronologically Arranged.. New York: Doubleday.
Simmons, J. (1996). The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time. Sydney: The Book Company.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: קרל פרידריך גאוס

ביוגרפיה של קרל פרידריך גאוס, באתר MacTutor
רותי יסינגר, קורות חייו של גאוס קרל פרידריך
The Sesquicentennial of the Birth of Gauss
מתמטיקאי המילניום, מאת Juergen Schmidhuber

[עריכה] הערות שוליים

^ באוגוסט 2006 הוחלט לשנות את סיווגו של קרס לכוכב לכת ננסי

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.