גאומטריה אוקלידית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אוקלידס

הגאומטריה האוקלידית מכונה גם גאומטריה של המישור או גאומטריה פרבולית. מקורה ביוון העתיקה. פירוש המילה "גאומטריה" ביוונית הוא למדוד (מטר) את האדמה (גאו) והמילה אוקלידית מקורה בשמו של אוקלידס שהיה מתמטיקאי מוערך ביוון העתיקה.

תוכן עניינים

1 אקסיומות
2 מושגי יסוד
3 מושגים מוגדרים
4 צורות גאומטריות
5 משפטים בגאומטריה
6 לקריאה נוספת
7 קישורים חיצוניים

[עריכה] אקסיומות

אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס אותה על חמש אקסיומות, העוסקות בעיקר בבנייה:

אפשר להעביר קטע ישר בין שתי נקודות.
אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ורדיוס.
כל הזוויות הישרות שוות ביניהן.
אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שיווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם יפגשו (בניסוח שקול: דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון).

האקסיומה החמישית, המכונה "אקסיומת המקבילים", נראתה למתמטיקאים מיותרת במשך מאות שנים, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם במאה ה-19 הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא אוקלידית. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא אוקלידית החדשה שנוצרה.

האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה התשע-עשרה.

[עריכה] מושגי יסוד

מושגי היסוד של הגאומטריה הם נקודה, ישר ומישור. אלה מושגים שאין להם הגדרה והמשמעות שלהם מובנת בצורה אינטואיטיבית או על פי מאפייניהם.

דוגמאות למאפיינים:

[עריכה] נקודה

לנקודה אין ממדים.
נקודה מציינת מיקום במרחב.

[עריכה] קו ישר

לקו ישר אין רוחב.
על ישר יש אינסוף נקודות.

[עריכה] מישור

למישור אין עובי.
המישור הוא דו ממדי.
המישור הוא אינסופי.
דרך 2 ישרים נחתכים עובר מישור אחד ויחיד.
דרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.

[עריכה] מושגים מוגדרים

באמצעות מושגי היסוד וחמש האקסיומות ניתן להגדיר בצורה חד משמעית כל מושג אחר בגאומטריה האוקלידית, כמו מלבן, משולש או מעגל. הגאומטריה האוקלידית, כמו כל ענף במתמטיקה, נבנית על גבי האקסיומות שלה. לכן, הגאומטריה האוקלידית היא ענף סגור שאינו נדרש לענפים אחרים כמו הטריגונומטריה. מסיבה זו כל המשפטים וההוכחות הגאומטריות מתבססות על הגאומטריה האוקלידית ועליה בלבד.