המישור המרוכב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מישור המספרים המרוכבים הוא אמצעי להצגת המספרים המרוכבים בצורה גאומטרית, כשם שציר המספרים משמש להצגת המספרים הממשיים. מישור המספרים המרוכבים נקרא גם "המישור של גאוס" על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס שהשתמש בו לצורך פיתוח חלק מרעיונותיו.

מישור המספרים המרוכבים מורכב למעשה משני צירים חד-ממדיים שביחד יוצרים מישור דו-ממדי. כל נקודה במישור מייצגת מספר מרוכב. קואורדינטת (שיעור) הציר המאוזן של הנקודה מייצג את הערך הממשי וקואורדינטת הציר המאונך מייצג את הערך המדומה של המספר. כך לדוגמה מיוצג המספר המרוכב $\ z$ הנתון על ידי $\ z = x + yi$ (עבור $\ x$ ו- $\ y$ ממשיים) על ידי הנקודה $\ (x,y)$ . הדבר דומה מאוד למערכת צירים רגילה, רק שכאן כל ציר מייצג חלק אחר של המספר המרוכב במקום את קואורדינטות הנקודה. הצגה כזאת לפי קואורדינטות נקראת הצגה קרטזית.

תוכן עניינים

1 הצגה פולארית
2 השפעת פעולות חשבון על ההצגה של מספרים מרוכבים במישור
3 ראו גם

[עריכה] הצגה פולארית

בנוסף להצגה הקרטזית ניתן גם להציג מספרים מרוכבים בהצגה פולארית (בעברית נקראת הצגה זאת הצגה קטבית). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב $\ z$ שמרחקו מראשית הצירים הוא $\ r$ והזווית היא $\ \theta$ יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה $\ (r,\theta)$ .

הקשר בין שתי ההצגות נתון בנוסחאות הבאות:
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
$\theta = \arctan\frac{y}{x}$

$\ x = r\cos\theta$

$\ y = r\sin\theta$
כאשר המספר המרוכב $\ z$ נתון על ידי: $\ z = x + yi$ , $\ r$ הוא הרדיוס של $\ z$ ו- $\ \theta$ היא הזווית שלו בהצגה פולארית.

מנוסחאות אלו קל לראות ש: $\ x +iy =r(\cos\theta + i\sin\theta)$ . נהוג לקצר את הביטוי $\ \cos\theta + i\sin\theta$ ל- $\ cis\,\theta$ .

[עריכה] השפעת פעולות חשבון על ההצגה של מספרים מרוכבים במישור

[עריכה] חיבור

חיבור של שני מספרים מרוכבים ייתן מספר מרוכב חדש כך שהקואורדינטות הקרטזיות של המספר החדש יהיו סכום הקואורדינטות של המספרים המקוריים. הדבר דומה לכל חיבור וקטורי רגיל.
$\ (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2i) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i$

[עריכה] כפל

כפל של שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגה פולארית ייתן מספר מרוכב חדש כך שרדיוסו של המספר החדש יהיה שווה למכפלת הרדיוסים של המספרים המקוריים והזווית שלו תהיה שווה לסכום הזוויות של המספרים המקוריים.
$\ (r_1(cis\,\theta _1)) \cdot (r_2(cis\,\theta _2)) = (r_1r_2)\cdot cis\,(\theta _1 + \theta _2)$

[עריכה] שורש

הוצאת שורש מסדר n למספר מרוכב הנתון בהצגה פולארית (נסמנו כ- $r(cis\,\theta)$ ), ייתן סדרה של n מספרים מרוכבים שמהווים תשובות אפשריות. המספרים נמצאים על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $\sqrt[n]{r}$ , והם מהווים קודקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות. אם נסמן את סדרת התשובות האפשריות כ- $z k$ (כל תשובה מסומנת על ידי k שונה הנע בין 0 ל- $n - 1$ (כולל), למשל $z 0, z 1$ וכו'), התשובות מקיימות: $z_k=\sqrt[n]{r}(cis\,\frac{\theta + 2 \pi k}{n})$ ( $π$ הכוונה לזווית של $180 o$ ).