משפט דה-מואבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים $\ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$ , כאשר i היא היחידה המרוכבת.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, באינדוקציה, מן הזהות $\ (\cos(x)+i \sin(x))(\cos(y)+i \sin(y)) = \cos(x+y) + i \sin(x+y)$ , השקולה לזהויות הטריגונומטריות $\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)$ ו- $\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)$ .

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת הגדלים הטריגונומטריים $\ \cos(nx)$ ו- $\ \sin(nx)$ כפולינומים ב- $\ \cos(x)$ ו- $\ \sin(x)$ , בהתאמה. כך למשל, $\ \cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)$ -- ראו פולינומי צ'ביצ'ב.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר).

[עריכה] הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $z=A(\cos x+i\sin x)\,$ , כאשר $\ 0 < A$ ו- $\ 0<x<2\pi$ .

המספר $\ \omega = B(\cos y+i\sin y)$ (עם $\ 0< B$ ), הוא שורש מסדר n של z אם $\ \omega ^n = z$ , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, $\ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x)$ . זה קורה בדיוק כאשר :