De Moivre-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A harmadrendű egységgyökök ábrázolása

A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden x komplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden n egész szám esetén fennáll a

$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,$

egyenlőség.

A képlet azért fontos, mert összeköti a komplex számokat a trigonometrikus függvényekkel.

Kifejtve a baloldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-ed rendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zⁿ = 1.

[szerkesztés] Bizonyítás

Három esetet veszünk.

Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,$

Akkor n = k + 1 esetén:

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \mathrm{az\ indukci\acute{o}s\ feltev\acute{e}s\ alapj\acute{a}n}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mathrm{a\ trigonometrikus\ azonoss\acute{a}gok\ alapj\acute{a}n} \end{alignat}$

Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.

Ha n = 0 a képlet igaz, mivel $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + i 0 = 1$ , és $z 0 = 1$ .

Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = −m. Akkor

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{alignat}$

Vagyis a tétel igaz minden egész szám n-re.

[szerkesztés] Alkalmazás

A képlet segítségével meghatározhatók egy komplex szám $n t h$ gyökei. Ha $z$ egy komplex szám, melynek trigonometrikus alakja

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

akkor

$z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$