Formule de De Moivre

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La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n :

$(\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)~$ ,

ou encore (par la formule d'Euler, qui constitue une démonstration triviale beaucoup plus directe que la démonstration par récurrence ci-dessous)

$(e^{i\, x})^n = e^{inx}$ .

Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la trigonométrie.

L'expression « cos(x) + i·sin(x) » est parfois abrégée en « cis x ».

Sommaire

1 Historique
2 Démonstration de la formule
3 Utilisations de la formule de De Moivre
4 Références

[modifier] Historique

On trouve cette formule de manière implicite dans l'oeuvre de De Moivre et Roger Cotes. Euler lui donne sa forme générale pour tout entier $n$ vers 1750^[1].

[modifier] Démonstration de la formule

Soit $x\in\mathbb{R}$

Considérons trois cas.

Pour $n > 0$ , nous procédons par récurrence.

Lorsque $n = 1$ , la formule est vraie.

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que la formule soit vraie. Cela signifie que

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,$

Nous avons

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad {\rm d'apr\grave es\; l^{\prime} hypoth \grave ese\; de\; r\acute ecurrence}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left\{ \left(k+1\right) x \right\} \qquad {\rm d^{\prime}apr\grave es\; les\; formules\; trigonom\acute etriques} \end{alignat}$

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang $k + 1$ .

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque $n = 0$ , la formule est vraie puisque $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + i 0 = 1$ , et par convention $z 0 = 1$ .

Lorsque $n < 0$ , nous considérons un entier naturel strictement positif $m$ tel que $n = - m$ . Ainsi

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{alignat}$