Complexe vlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Geometrische representatie van z en de geoonjugeerde in het complexe vlak. De afstand langs het lichtblauwe lijnstuk van de oorsprong naar punt z is de modulus of ook wel de absolute waarde van z. De hoek φ is het argument van z.

In de wiskunde, is het complexe vlak een geometrische weergave van de complexe getallen bestaand uit een reële as en orthogonaal daarop geplaatst de imaginaire as. Het complexe vlak kan worden gezien als een aangepast Cartesiaans vlak, waar het reële gedeelte van een complex getal wordt weergegeven door een verplaatsing langs de x-as en het imaginaire gedeelte door een verplaatsing langs de y-as.

Het complexe vlak wordt soms ook Argandvlak genoemd, omdat dit wordt gebruikt in Arganddiagrammen. Dezen heten zo, omdat zij zijn genoemd naar Jean-Robert Argand, hoewel zij eerst zijn beschreven door de Noors-Deense landmeter en wiskundige Caspar Wessel. Wessel's uiteenzetting werd in 1797 gepresenteerd aan de Deense Akademie. Argand's werk werd in 1806 door hem zelf gepubliceerd. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9). Arganddiagrammen worden vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te plotten.

Het concept van het complexe vlak staat een meetkundige interpretatie toe van de complexe getallen. Twee complexe getallen tellen op als vectoren, terwijl de vermenigvuldiging van twee complexe getallen het gemakkelijkst kan worden uitgedrukt in poolcoördinaten, waar de grootte (of modulus) van de twee poolcoördinaten het product is van de twee absolute waarden, en waar de resulterende hoek van het product gelijk is de som van de twee hoeken.

Om die reden worden Arganddiagrammen vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te plotten. Een vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 kan als een rotatie worden geïnterpreteerd. Het complexe vlak wordt vaak gebruikt om fysische processen te visualiseren. Zo wordt een harmonische trilling gezien als een cirkelbeweging om de oorsprong in het complexe vlak. De projectie op de x-as is het reële deel van de trilling, dat er in de tijd gezien uitziet als een sinus of cosinus.