משפט בולצאנו-ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו-ויירשטראס אומר כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב- $\mathbb{R}^n$ קיימת תת סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט אומר כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב- $\mathbb{R}^n$ קיימת נקודת הצטברות.

הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסרקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.

למשפט קשר הדוק ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל. כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.

במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר. מרחב שמקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה בורל נקרא מרחב קומפקטי, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית - ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים. במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.

[עריכה] הוכחה

נציג כאן את הוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב- $\mathbb{R}$ . ההכללה ל- $\mathbb{R}^n$ היא טכנית אך אינה מסובכת. נשתמש בלמה של קנטור לצורך ההוכחה.

תהא $\ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty$ סדרה חסומה, אז קיים $\ M>0$ כך ש- $\ \forall n:x_n\isin[-M,M]$ . נסמן $\ a_0=-M,b_0=M$ . כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים $\ [a_0,\frac{a_0+b_0}{2}],[\frac{a_0+b_0}{2},b_0]$ . בהכרח יש אינסוף איברים של הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו, כי אם בשניהם היה מספר סופי של אברים של הסדרה, בכל הסדרה היה מספר סופי של איברים. נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור $\ [a_1,b_1]$ . כעת נוכל לחלק גם את הקטע $\ [a_1,b_1]$ באותו אופן, וכן הלאה.

נמשיך בתהליך הבנייה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים $\ [a_k,b_k]$ המקיימת את התכונות הבאות:

כל הקטעים סגורים.
כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו.
אורכם של הקטעים שואף לאפס.
כל קטע מכיל אינסוף נקודות של $\ x_n$ .

כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיוון שכל קטע הוא חצי מהקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא $\ \frac{M}{2^{k-1}}$ עבור קטע מספר $\ k$ - וזוהי סדרה ששואפת לאפס.

אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה $\ c$ כך ש- $\ \bigcap_{k=0}^\infty [a_k,b_k]=\left\{c\right\}$ . נקודה זו תשמש בתור הגבול של תת הסדרה שאנו מבקשים לבנות.

נבנה את תת הסדרה שלנו על ידי בחירת איבר אחד $\ y_k$ של הסדרה המקורית מכל קטע $\ [a_k,b_k]$ , כך שהאינדקס שלה בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה. ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של איברים מהסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האיברים שנבחרו עד עתה.

כעת, נשים לב כי בהינתן קטע $\ [a_k,b_k]$ הוא מכיל את כל האיברים מתת הסדרה החל מהמקום ה- $\ k$ ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו). כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, $\ \frac{M}{2^{k-1}}$ . לכן, המרחק בין כל נקודות תת הסדרה החל מהמקום ה- $\ k$ ואילך מהנקודה $\ c$ אינו עולה על $\ \frac{M}{2^{k-1}}$ , ומספר זה שואף לאפס. לכן תת הסדרה שבנינו שואפת ל- $\ c$ , ובכך הושלמה ההוכחה.

[עריכה] הוכחה נוספת

קיימת דרך נוספת, יפה ומיוחדת בפשטותה, להוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב- $\mathbb{R}$ , המתבססת על המשפט הקובע שסדרה מונוטונית אינסופית חסומה מתכנסת.

נגדיר "זעירון" כאיבר בסדרה אינסופית שאחריו אין איבר קטן ממנו. ייתכנו שני מקרים:
ייתכן שקיימים בסדרה אינסוף זעירונים. אם כך קיבלנו סדרה אינסופית מונוטונית עולה. (אחרי הזעירון הראשון יבוא הזעירון השני, שבהכרח, לפי הגדרת הזעירון, גדול ממנו. אחריהם בא השלישי, שגדול מהם, וכן הלאה)

ייתכן שקיים בסדרה מספר סופי של זעירונים. נתבונן באיברים שאחרי הזעירון האחרון. כל האיברים ממנו והלאה כבר אינם זעירונים. האיבר שאחרי הזעירון האחרון יהיה האיבר הראשון בסדרה המונוטנית שניצור. בהכרח יש איבר קטן ממנו, שהרי הוא אינו זעירון. האיבר הקטן ממנו יהיה האיבר השני בסדרה המונוטנית. גם אחרי האיבר השני קיים איבר קטן ממנו, וכן הלאה. נקבל סדרה מונוטונית יורדת אינסופית.

הסדרה המונוטונית האינסופית שנקבל, בכל אחד משני המקרים, היא תת סדרה של סדרה חסומה, ולפיכך חסומה בעצמה. כאמור, סדרה מונוטונית אינסופית חסומה היא מתכנסת.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה