מרחב מטרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שהוגדר מרחק בין איבריה.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 דוגמאות
3 מרחב מטרי כמרחב טופולוגי
4 ראו גם
5 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא S קבוצה כלשהי. נגדיר פונקציה $d:S\times S \rarr \mathbb{R}$ שתיקרא מטריקה ותקיים את שלוש התכונות הבאות עבור כל $x,y,z\isin S$ :

חיוביות: $d(x,y)\ge 0$ ומתקיים $\!\, d(x,y)=0$ אם ורק אם $\!\, x=y$
סימטריות: $d\left(x,y\right) = d(y,x)$
אי שוויון המשולש: $d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$

הקבוצה S יחד עם הפונקציה d נקראת מרחב מטרי.

[עריכה] דוגמאות

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי $g(x,y)= \| x-y \|$ .

אם המטריקה מקיימת $d(x,z) \le max\{d(x,y),d(y,z)\}$ (זו דרישה חזקה יותר מאי שוויון המשולש), אז המרחב הוא 'מרחב מטרי לא ארכימדי', וכל משולש בו הוא שווה שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות.

[עריכה] מרחב מטרי כמרחב טופולוגי

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת 'כדור פתוח'. קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום). אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום ושלם. אם המרחב חסום, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.