波爾查諾-魏爾施特拉斯定理
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在實分析中,波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是用以刻劃 中的緊集的基本定理。此定理得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯,其陳述如下:
- 定理. 中的一個子集 E 是序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)的充要條件是:E 是有界閉集。
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[编辑] 历史
这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明,但是他的证明已经散失。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。
[编辑] 相关概念
一个集合序列紧致,是指每个由集合中元素所组成的数列都包含收敛的子列,并且该子列收敛到集合中的元素。
[编辑] 证明
由于序列紧致的集合必然是有界闭集,定理的关键是在证明的有界闭集必然序列紧致。
引理:有界的实数列必然包含单调的子列。
- 引理的证明:我们来构造这个子列设有实数列,定义集合
集合中的每个元素,都比其后的所有元素都大。
如果X中有无限个元素,在其中取下标递增的一个数列,那么这个数列是的子列,并且单调递减,构造完毕。
如果X中元素个数有限,那么如果设N为其中最大的下标,对任意的an,它之后至少会有一个元素大于它。于是取k0 = N + 1, 为第一个大于的元素的下标,为第一个大于的元素的下标,依此类推,就可以得到的一个子列,它是单调递增的,构造完毕。
综上可得,有界的实数列必然包含单调的子列。
- 定理的证明:
先考虑n = 1的情况。对于一个有界闭集中的实数列,取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增,由于数列有上界,这个子列必然收敛。又因为集合是闭集,收敛的极限必然在集合中,于是我们找到了收敛的子列,因此集合是序列紧致的。
对于,证明的思路是取多次子列。
设为一个有界序列,则n个实数列都是有界数列。于是存在的子列使得收敛。但是仍是有界数列,因而存在子列使得也收敛(注意这里必然是收敛的)。在进行类似的n次操作后,我们就可以得到一个子列,使得都收敛,也就是说存在子列收敛。由于集合是闭集,收敛的极限必然在集合中,因此集合是序列紧致的,证毕。
[编辑] 文獻
- Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.