טרנספורמציות לורנץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

טרנספורמציות לורנץ הן טרנספורמציות לינאריות בין מערכות ייחוס המראות כיצד משתנים הזמן והמרחב כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס אינרציאלית הנעה יחסית אליה במהירות קבועה בקו ישר. את טרנספורמציית לורנץ אפשר להסיק מעקרונות היסוד (הפוסטולטים) של תורת היחסות הפרטית, ואכן - טרנספורמציות לורנץ הן כלי מרכזי בביצוע חישובים במסגרת תורה זו.

תוכן עניינים

1 מבוא ודוגמאות
2 הגדרה פורמלית
- 2.1 מרחב מינקובסקי והמטריקה
- 2.2 חבורת לורנץ
3 סיווג טרנספורמציות לורנץ
4 שדות אלקטרומגנטיים תחת טרנספורמציית לורנץ
5 היסטוריה
6 ראו גם
7 קישורים חיצוניים

[עריכה] מבוא ודוגמאות

נניח שמערכת ייחוס (צירים + שעון) S נמצאת במנוחה ברגע t=0 בראשית x=y=z=0. נניח שמערכת 'S שנמצאת באותו מקום נעה ביחס אליה במהירות v (קבועה) בכיוון x.

במכניקה הקלאסית, כדי לחשב כיצד משתנות המדידות של מקום וזמן במערכת 'S לעומת מדידות אלה במערכת S משתמשים בטרנספורמציית גליליי:

$\ t' = t$

$\ x' = x + vt$

$\ y' = y \ , \ z' = z$

ברם, כאשר v היא מהירות שאינה זניחה יחסית למהירות האור מסתבר שטרנספורמציית גליליי, המתארת כיצד לתרגם מקום וזמן בין שתי המערכות, איננה נותנת תוצאות מדויקות. הטרנספורמציה המתאימה לתרגום ניתנת במסגרת תורת היחסות הפרטית ובניגוד לטרנספורמציית גליליי היא מערבבת בין המרחב והזמן. לטרנספורמציה זו קוראים טרנספורמציית לורנץ או טרנספורמציית לורנץ boost (כאשר boost מרמז כי היא קשורה למהירות) והיא נראית כך:

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$\ x' = \gamma (x - v t)$

$\ y' = y$

$\ z' = z$

כאשר

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

אם מסמנים $\ \beta = v/c$ ועובדים ביחידות שבהן $x = t$ ו- $1 = c$ וכן מתעלמים מצירי y ו-z שלא משתנים, מקבלים נוסחה פשוטה לזיכרון של הטרנספורמציה:

$\begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta\\ \gamma \beta & \gamma\\ \end{bmatrix} \ \begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix}$

כאשר הכפל כאן הוא כפל מטריצות רגיל.

[עריכה] הגדרה פורמלית

[עריכה] מרחב מינקובסקי והמטריקה

נגדיר את המטריצה של מרחב מינקובסקי שטוח:

$g= \eta = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

בכתיב טנזורי, רושמים את g כ $g μν$ . במרחב מינקובסקי הזמן איננו סקלר אלא חלק מ 4-וקטור:

$\ x^\mu = \left( ct , \vec{r} \right) = \left( ct, r^i \right)$

נשים לב ש $\ x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = (ct)^2 - (\vec{r})^2$ (כאשר אינדקס מופיע פעמיים, פעם למעלה ופעם למטה, אנו מבינים שסוכמים עליו - כלומר: האינדקס רץ מ 0 עד 3) וזהו בעצם חוק שמירות האינטרוול ואינווריאנטיות הזמן העצמי.

ראו עוד: הסכם הסכימה של איינשטיין.

[עריכה] חבורת לורנץ

חבורת לורנץ כוללת את כל המטריצות $Λ$ ההפיכות מסדר 4 על 4, המקיימות $\ \Lambda ^T g \Lambda = g$ , כאשר T מסמן את המטריצה המשוחלפת. בלשון מתמטית, זוהי החבורה האורתוגונלית של התבנית $\ q(t,x,y,z)=t^2-x^2-y^2-z^2$ .

על-פי ההגדרה, החבורה כוללת בדיוק את הטרנספורמציות של המרחב-זמן, השומרות על המטריקה של מינקובסקי.

[עריכה] סיווג טרנספורמציות לורנץ

[עריכה] סיבובים מרחביים

נשים לב שכל טרנספורמציה מהצורה:

$\ t' = t \ \ \ , \ \ \vec{r'} = U\vec{r}$

כאשר U היא מטריצת סיבוב אורותוגונלית (כלומר: $U - 1 = U T$ ) היא טרנספורמציית לורנץ. למעשה, זוהי טרנספורמציית סיבוב מרחבית. המשמעות של זה היא שכל חוקי הפיזיקה ישארו אינווריאנטים גם היא נסובב את מערכת הצירים סביב הראשית, כלומר: לטבע אין כיוון מועדף (איזוטרופיה).

[עריכה] boost

זוהי טרנספורמציה המעבירה ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה.

בלי הגבלת הכלליות, נניח שמערכת ייחוס 'S נעה במהירות יחסית v בכיוון x למערכת ייחוס S. אזי כלל התרגום בין 4-וקטור האירוע ב S $\ x^\mu = (ct,x,y,z)$ לבין וקטור האירוע ב 'S $\ x'^\mu = (ct',x',y',z')$ הוא

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$\ x' = \gamma (x - v t)$

$\ y' = y$

$\ z' = z$

כאשר

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

את 4 משוואות הטרנספורמציה אפשר לייצג באמצעות מטריצה:

$\begin{bmatrix} t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\ -v \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

או באופן שקול כ

$\begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

כאשר מערכת 'S נעה ביחס ל S בכיוון כלשהו, טרנספורמציית לורנץ הכללית תינתן על ידי הרכבה של 2 סיבובים ו-boost. נסובב את שני המערכות כך שציר x שלהן יהיה באותו כיוון ומקביל לכיוון המהירות היחסית ביניהן, נבצע את ה-boost ואז נסובב בחזרה לקואורדינטות המקוריות. הביטוי הכללי מכוער למדי ואין טעם לרשמו.

[עריכה] חיבור מהירויות יחסותי

כמו כן, מטרנספורמציית לורנץ ה-boost אפשר להסיק כלל של חיבור מהירויות באותו כיוון (על ידי הרכבה של boost על boost) ולקבל ש

$\ v_{1+2} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}}$

[עריכה] שדות אלקטרומגנטיים תחת טרנספורמציית לורנץ

זוהי טרנספורמציה המעבירה את השדה החשמלי ואת השדה המגנטי ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה. $\vec{v}$ :

$\vec{E}' = \gamma \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{E} \cdot \vec{v} ) \vec{v}$

$\vec{B}' = \gamma \left( \vec{B} - \frac {\vec{v} \times \vec{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{B} \cdot \vec{v} ) \vec{v}$