Преобразования Лоренца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Преобразование Лоренца, используемое в частности в специальной теории относительности, — преобразование, которому подвергаются события галилеевыми координаты (x, y, z, t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) — к другой. Аналогично через преобразования Лоренца преобразуются координаты любого 4-вектора.

С математической точки зрения преобразования Лоренца - это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (другими словами преобразования лоренца - это аналог ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, для метрики Минковского). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчета и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчета образуют группу Лоренца, со сдвигами - группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределенным c), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре - см. ниже). Однако впервые были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (т.е. по сути - которые не меняют законов электродинамики и оптики). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчета (являющегося упрощенной формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и, можно сказать, распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчета - принципа относительности - на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определенным и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени (см.тж.Пространство Минковского).

Содержание

1 Вид преобразований при коллинеарных (в данном случае - параллельных) пространственных осях
2 Вывод преобразований Лоренца
3 Вид преобразований при произвольной ориентации осей
4 Преобразования Лоренца в матричном виде
5 Свойства преобразований Лоренца
6 Связанные определения
7 История
8 Литература
9 См. также

[править] Вид преобразований при коллинеарных (в данном случае - параллельных) пространственных осях

Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью $V\$ вдоль оси $x\$ , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

$x'=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-V^2/c^2}},$

$y'=y,\$

$z'=z,\$

$t'=\frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-V^2/c^2}},$

где $c$ — скорость света в вакууме, величины со штрихами померены в системе K', без штрихов — в K.

Эта форма преобразования (т.е. при выборе коллинеарных осей), называемое иногда бустом или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает по сути всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, т.к. пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить просторанственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развернутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие $x,y,z,t\$ через $x',y',z',t'\$ можно получить просто заменой $V\$ на $-V\$ (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчета |V| одинакова при измерении ее в обеих системах отсчета, поэтому можно при желании снабдить V штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованных x и t с нештрихованными.
Надо иметь ввиду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1, что действительно делает их вид более изящным.

[править] Вывод преобразований Лоренца

Примем постулаты СТО.

Пусть $~y \neq y'$ или $~z \neq z'$ тогда, не нарушая общности рассмотрим случай $~y<y'$ .

«Если движущееся тело влетает в неподвижное отверстие, может возникнуть ситуация, когда с точки зрения неподвижной системы отсчёта тело в отверстие может влететь, с точки зрения движущейся не может, если не считать, что отверстие тоже меняет свои размеры для движущегося тела. А это как раз и происходит в геометрии Лобачевсого, где меяются размеры из-за разбегания не пересекающихся прямых. Но мы рассматриваем пространство Минковского с инвариантным интервалом, что автоматически нас приводит к:

$~y=y', z=z'$

Пусть на подвижной системе отсчёта идёт измерение скорости света по оси y. Мы направляем по ней световой сигнал, и, если считать, что он пролетел расстояние $~l_y$ , то для того, чтобы скорость света равнялась c, свет должен преодолеть его за время $~t'=l_y/c$

C точки зрения неподвижного наблюдателя, по оси y свет пролетел то же расстояние $~l_y$ ,но ввиду подвижности вышеуказаной системы отсчёта свету пришлось преодолеть расстояние и по оси x. Итого, расстояние, в сумме пройденное светом, равно не $~l_y$ , , а $~l$

По второму постулату СТО получаем, что расстояние $~l$ было пройдено за время $~t = l/c$ За это время подвижная система отсчёта со скоростью $~v$ преодолела расстояние $~t\cdot v = l\cdot(v/c)$ . Получаем соотношение расстояний в подвижной и неподвижной системах отсчёта:

$~l'=l_y=l \cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$

Из него получаем соотношение времён: $~t'=t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}$ (1)

Пусть, нам известно, что расстояние между точками A и B x метров. Пусть мы начали двигаться из точки а в точку Б со скоростью v . Узнаём, при этом, допустим время в точке А. Не нарушая общности примем его за 0. С точки зрения неподвижной системы отсчёта в точке Б время тоже 0. Теперь измерим время в точке А относительно подвижной системы отсчёта. При этом световой сигнал дойдёт до нас мгновенно (ибо мы в точке А). И мы должны предположить, что и в подвижной системе отсчёта время тоже А. Теперь, попытаемся определить, каково же время в точке Б сейчас в подвижной системе отсчёта. Ясно, что оно будет тоже 0. Теперь поставим вопрос по другому? Какое время часы будут показывать в неподвижной точке Б, иными словами, произведём преобразование по времени.

Пусть о том, какое время показывают часы, непрерывно извещается световым сигналом.

Для этого «отправимся» в будущее. Мы знаем, что относительно системы АБ мы движемся со скоростью v. Следовательно система АБ движется относительно нас со скоростью v. Если бы это было бы не так, то можно было определить выделенную систему отсчёта. Значит это так, и поэтому в точку Б мы прибудем через время t', или, по уравнению (1) за $~t/\gamma$ , где

$~\gamma = 1/\sqrt{1-(v/c)^2}$

Или, что тоже самое, за время $~t' = (x/v)/\gamma$ . Обнаружим, что по прилёту в точку Б время составляет x/v. Значит, мы должны предположить, что часы в точке Б до начала полёта показывали

tБ= $~x/v -(x/v)/\gamma$ (2)

Однако такое предположение было бы верным, если бы часы в неподвижной и подвижной СО шли одинаково. На деле же, относительно подвижной СК часы на неподвижной идут медленнее. Поэтому, в то время, как мы летели из точки А в точку Б за $~(x/v)/\gamma$ времени, часы на неподвижной СК с точки зрения подвижной отмерят время $~(x/v)/\gamma^2.$ Итого:

tБ= $~x/v -(x/v)/\gamma^2$ (3)

Преобразуя имеем tБ= $~x/v -(x/v)/\gamma^2 =x/v - (x/v)\cdot(1-v^2/c^2)=xv/c^2$ (4)

Теперь мы видим, что если в точке А при времени t=0 t'=0 , то в точке Б $~t'=0$ при $~t= xv/c^2$

Соотвественно c точки зрения подвижной системы отсчёта, когда в точке Б $~t= 0$ , то $~t'= -xv/c^2\cdot\gamma$

Получаем итоговое уравнение: $~t'= (t-xv/c^2)\cdot\gamma$ (4а)

Естественно, так как все системы отсчёта равноправны, то $~t= (t'+x'v/c^2)\cdot\gamma$ (4б) Что и соотвествует преобразованию Лоренца для времени.

Аналогично выводятся преобразование Лоренца для координаты $~x$

[править] Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

$\mathbf{r'} = \mathbf{i}x' + \mathbf{j}y' + \mathbf{k}z'$ ,

где $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ — орты, надо разбить на составляющую $\mathbf{r'_\|}$ параллельную скорости и составляющую $\mathbf{r'_\perp}$ ей перпендикулярную

$\mathbf{r'} = \mathbf{r'_\|} + \mathbf{r'_\perp}$ .

Тогда преобразования получат вид

$\mathbf{r_\|}=\frac{\mathbf{r'_\|}+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \mathbf{r_\perp}=\mathbf{r'_\perp},~~ t=\frac{t'+(v/c^2)r_\|}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ ,

где $v = V = \left| \mathbf{v} \right|$ — абсолютная величина скорости, $r_\| = \left| \mathbf{r_\|} \right|$ — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

$\mathbf{r} = \mathbf{r'} + \frac{1}{v^2}\left( \frac{1-\sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right)(\mathbf{r'v})\mathbf{v} + \frac{\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$t=\frac{t'+\mathbf{r'v}/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$ .

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

[править] Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

$\begin{bmatrix} c t \\x \\y \\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ \frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix}$ ,

где $\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

$\begin{bmatrix} c t \\ \vec r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \frac{\vec v}{c} \gamma \\ \frac{\vec v}{c} \gamma & E + \frac{\vec v \otimes \vec v}{v^2}(\gamma -1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ \vec r \end{bmatrix}$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

где E — единичная матрица 3 $\times$ 3, $\otimes$ — тензорное умножение трехмерных векторов.

Надо иметь ввиду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где $c = 1$ .

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

[править] Свойства преобразований Лоренца

Можно заметить, что в случае, когда $c\rightarrow\infty$ , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда $v/c\rightarrow0$ . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая - предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень большой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.

Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал (если проще, то для ортогональной группы есть инвариант - это инвариант двух точек или интервал, как только мы узнали, что преобразования ортогональны, значит расстояние неизменно в любой системе координат, это можно даже не проверять) для любой пары событий - т.е. любой пары точек пространства-времени:

$s = \sqrt{c^2 (\Delta t)^2- (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2}$ Преобразования Лоренца являются некоторым обобщением понятия вращения системы координат. Если рассмотреть четырехмерную поверхность, которую описывают координаты при равенстве интервала нулю, то мы обнаружим, что это поверхность четырехмерного конуса (состоящего из двух частей). Он называется изотропным конусом, внутренюю часть конусов описывает действительный интервал, наружную - мнимый.

Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц c=1) можно представить как:

$\begin{bmatrix} \mathop{\rm ch} \theta & \mathop{\rm sh} \theta & 0 & 0\\ \mathop{\rm sh} \theta & \mathop{\rm ch} \theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$

где $\theta\$ некоторое вещественное число, которое нетрудно подобрать для каждой конкретной скорости, а говоря короче, просто $\theta = \mathop{\rm ath} (V/c)\$ . В этом легко убедиться, учитывая $\mathop{\rm ch}^2 \theta - \mathop{\rm sh}^2 \theta = 1 \$ и проверив выполнение соответствущего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

Если принять введенные Минковским обозначения $x_0=ict, x_1=x, x_2=y, x_3=z\$ , то преобразование лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось $x_0\$ (для случая движения вдоль оси $x_1\$ - в плоскости $x_0 x_1\$ ). Это очевидно исходя из подстановки $\mathop{\rm ch} \theta = \mathop{\rm cos}(i\,\theta),\ \mathop{\rm sh} \theta = -i\, \mathop{\rm sin}(i\theta)$ в матрицу, приведенную чуть выше -и немного изменив ее, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты - и сравнении ее с обычной матрицей вращения.

[править] Связанные определения

Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета(с учетом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась Лоренц-инвариантность.

[править] История

Преобразования названы в честь их первооткрывателя — Х. А. Лоренца, который впервые ввел их (вместо преобразований Галилея) в качестве преобразований, связывающих геометрические величины (длины, углы), измеренных в разных инерциальных системах отсчета, чтобы устранить противоречия между электродинамикой и механикой, которые имелись в ньютоновской формулировке, включающей преобразования Галилея, что в конечном итоге привело к успеху при существенной модификации механики.

Сначала было обнаружено, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований (В.Фогтом в 1887). Это же было повторено Лармором в 1900.

В 1892 Лоренц ввёл теорию сокращения, предполагающую сокращение длин всех твёрдых тел в направлении движения, количественно совпадающее с тем, что понимается сейчас под лоренцевским сокращением.

В (1900?) (1904?)г. Лоренц обнаружил, что эти преобразования оставляют инвариантными уравнения Максвелла, и применил их также к геометрическим и механическим величинам. Сам Лоренц верил в светоносный эфир и первоначально интерпретировал свои преобразования в терминах эфирных моделей. Только в 1905 Пуанкаре и затем Эйнштейн в своей теории относительности пришёл к широко популярной впоследствии формально-аксиоматической трактовке этих преобразований.

Преобразования Лоренца были впервые опубликованы в 1904 г. но в то время их форма была несовершенна. К современному, полностью самосогласованному виду их привёл французский математик А. Пуанкаре.

Пуанкаре же ввел термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца», показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея. Ему же принадлежит групповой вывод явного вида преобразований Лоренца (с неопределенным c) без независимого постулата инвариантности скорости света.

[править] Литература

Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608 и стр.609.
Ф. И. Фёдоров. Группа Лоренца. М.: Наука, 1979. 384 с.

[править] См. также

Категории: Физические законы и уравнения | Специальная теория относительности | Линейная алгебра

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.